Três cascas esféricas concêntricas com
têm, respectivamente, distribuições de cargas dadas por
e
. (a) Determine o fluxo através de
e
m. (b) Determine a densidade de fluxo elétrico
em
e
.
Passo 1
O enunciado dá três cascas esféricas concêntricas com raios e densidades de carga superficiais:
As perguntas são:
(a) Determinar o fluxo elétrico através de superfícies esféricas de raio
e
.
(b) Determinar a densidade de fluxo elétrico nos pontos com
,
e
.
(a) Determinar o fluxo elétrico
(b) Determinar a densidade de fluxo elétrico
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
- Lei de Gauss para o campo elétrico (fluxo): o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga livre total contida nela dividida por
. Em fórmulas:
onde
é o fluxo total,
é a carga total encerrada e
é a permissividade do vácuo (
).
- Para uma casca esférica de raio
com densidade superficial , a carga total da casca é:
Vou calcular
explicitamente para usar nas contas.
Passo 3
Cálculo das cargas das cascas (passo a passo):
- Para a casca em
:
- Para a casca em
:
- Para a casca em
:
Resumo simbólico útil:
Passo 4
Fluxo através da esfera de raio
:
- Qual carga está dentro dessa superfície? Apenas a casca de
fica inteiramente dentro. Então
- Aplicando Gauss:
- Valor numérico (usando
):
Passo 5
Fluxo através da esfera de raio
:
- Qual carga está dentro? As cascas em
e estão dentro; a de está fora. Então
- Aplicando Gauss:
- Valor numérico:
Passo 6
Agora a densidade de fluxo
. Conceito e fórmula:
- A lei de Gauss em termos de
é
- Para simetria esférica
é radial e constante sobre uma esfera de raio , então
Aqui
é a componente radial (unidade
) e o vetor é
. Observe que essa fórmula não usa
—
vem diretamente da carga livre encerrada.
Passo 7
- Dentro da menor casca não há carga interior (todas as cascas estão em
), logo . - Assim
Passo 8
- Já calculamos
. - Aplicando a fórmula:
- Cancela
e calcula:
- Vetorialmente:
Passo 9
- Agora a superfície em
envolve todas as três cascas, então
- Aplica-se a fórmula:
- Calculando:
- Vetorialmente: