Três cascas esféricas concêntricas com r=1 \mathrm{~m}, r=2 \mathrm{me} r=3 \mathrm{~m} têm, respectivamente, distribuições de cargas dadas por 2 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2},-4 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} e 5 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2}. (a) Determine o fluxo através de r=1,5 \mathrm{~m} e r=2,5 m. (b) Determine a densidade de fluxo elétrico \boldsymbol{D} em r=0,5 \mathrm{~m}, r=2,5 \mathrm{~m} e r=3,5 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado dá três cascas esféricas concêntricas com raios e densidades de carga superficiais:
r_1=1\\ \mathrm{m},\quad \sigma_1=2\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2
r_2=2\\ \mathrm{m},\quad \sigma_2=-4\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2
r_3=3\\ \mathrm{m},\quad \sigma_3=5\\ \mu\mathrm{C}/\mathrm{m}^2
As perguntas são:
(a) Determinar o fluxo elétrico \Phi através de superfícies esféricas de raio r=1,5\\ \mathrm{m} e r=2,5\\ \mathrm{m}.
(b) Determinar a densidade de fluxo elétrico \mathbf{D} nos pontos com r=0,5\\ \mathrm{m}, r=2,5\\ \mathrm{m} e r=3,5\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadinhos):
  • Lei de Gauss para o campo elétrico (fluxo): o fluxo elétrico através de uma superfície fechada é igual à carga livre total contida nela dividida por \varepsilon_0. Em fórmulas:
\Phi=\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde \Phi é o fluxo total, Q_{\text{enc}} é a carga total encerrada e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo ( \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}).
  • Para uma casca esférica de raio r_i com densidade superficial \sigma_i, a carga total da casca é:
Q_i=\sigma_i\cdot \text{área da esfera}=\sigma_i\cdot 4\pi r_i^2.á
Vou calcular Q_1,Q_2,Q_3 explicitamente para usar nas contas.

Passo 3

Cálculo das cargas das cascas (passo a passo):
  • Para a casca em r_1=1\\ \mathrm{m}:
Q_1=\sigma_1\cdot 4\pi r_1^2 = \left(2\times10^{-6}\right)\cdot 4\pi (1)^2 = 8\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Para a casca em r_2=2\\ \mathrm{m}:
Q_2=\sigma_2\cdot 4\pi r_2^2 = \left(-4\times10^{-6}\right)\cdot 4\pi (2)^2 = -64\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Para a casca em r_3=3\\ \mathrm{m}:
Q_3=\sigma_3\cdot 4\pi r_3^2 = \left(5\times10^{-6}\right)\cdot 4\pi (3)^2 = 180\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Resumo simbólico útil:
Q_1=8\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad Q_2=-64\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C},\quad Q_3=180\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.

Passo 4

Fluxo através da esfera de raio r=1{,}5\\ \mathrm{m}:
  • Qual carga está dentro dessa superfície? Apenas a casca de r_1=1\\ \mathrm{m} fica inteiramente dentro. Então
Q_{\text{enc}}(1{,}5)=Q_1=8\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Aplicando Gauss:
\Phi(1{,}5)=\frac{Q_{\text{enc}}(1{,}5)}{\varepsilon_0}=\frac{8\pi\times10^{-6}}{\varepsilon_0}.
  • Valor numérico (usando \varepsilon_0\approx 8{,}854187817\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}):
\Phi(1{,}5)\approx \frac{8\pi\times10^{-6}}{8{,}854187817\times10^{-12}}\approx 2{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 5

Fluxo através da esfera de raio r=2{,}5\\ \mathrm{m}:
  • Qual carga está dentro? As cascas em r_1=1\\ \mathrm{m} e r_2=2\\ \mathrm{m} estão dentro; a de r_3=3\\ \mathrm{m} está fora. Então
Q_{\text{enc}}(2{,}5)=Q_1+Q_2=(8\pi-64\pi)\times10^{-6}=-56\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Aplicando Gauss:
\Phi(2{,}5)=\frac{Q_{\text{enc}}(2{,}5)}{\varepsilon_0}=\frac{-56\pi\times10^{-6}}{\varepsilon_0}.
  • Valor numérico:
\Phi(2{,}5)\approx \frac{-56\pi\times10^{-6}}{8{,}854187817\times10^{-12}}\approx -1{,}99\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}.

Passo 6

Agora a densidade de fluxo \mathbf{D}. Conceito e fórmula:
  • A lei de Gauss em termos de \mathbf{D} é
\oint \mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}=Q_{\text{enc}}.
  • Para simetria esférica \mathbf{D} é radial e constante sobre uma esfera de raio r, então
D_r\cdot 4\pi r^2 = Q_{\text{enc}}\quad\Rightarrow\quad D_r=\frac{Q_{\text{enc}}}{4\pi r^2}.
Aqui D_r é a componente radial (unidade \mathrm{C/m^2}) e o vetor é \mathbf{D}=D_r\,\hat{\mathbf{r}}. Observe que essa fórmula não usa \varepsilon_0 \mathbf{D} vem diretamente da carga livre encerrada.

Passo 7

\mathbf{D} em r=0{,}5\\ \mathrm{m}:
  • Dentro da menor casca não há carga interior (todas as cascas estão em r\ge1\\ \mathrm{m}), logo Q_{\text{enc}}(0{,}5)=0.
  • Assim
\mathbf{D}(0{,}5)=0\\ \hat{\mathbf{r}}\quad\text{ou simplesmente}\quad \mathbf{D}(0{,}5)=\mathbf{0}.

Passo 8

\mathbf{D} em r=2{,}5\\ \mathrm{m}:
  • Já calculamos Q_{\text{enc}}(2{,}5)= -56\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Aplicando a fórmula:
D_r(2{,}5)=\frac{Q_{\text{enc}}(2{,}5)}{4\pi (2{,}5)^2}=\frac{-56\pi\times10^{-6}}{4\pi\cdot 6{,}25}.
  • Cancela \pi e calcula:
D_r(2{,}5)=\frac{-56\times10^{-6}}{25}=-2{,}24\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2}.
  • Vetorialmente:
\mathbf{D}(2{,}5)=-2{,}24\times10^{-6}\\ \hat{\mathbf{r}}\\ \mathrm{C/m^2}.

Passo 9

\mathbf{D} em r=3{,}5\\ \mathrm{m}:
  • Agora a superfície em r=3{,}5\\ \mathrm{m} envolve todas as três cascas, então
Q_{\text{enc}}(3{,}5)=Q_1+Q_2+Q_3=(8\pi-64\pi+180\pi)\times10^{-6}=124\pi\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
  • Aplica-se a fórmula:
D_r(3{,}5)=\frac{Q_{\text{enc}}(3{,}5)}{4\pi(3{,}5)^2}=\frac{124\pi\times10^{-6}}{4\pi\cdot 12{,}25}=\frac{124\times10^{-6}}{49}.
  • Calculando:
D_r(3{,}5)=2{,}530612245\ldots\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2}\approx 2{,}53\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m^2}.
  • Vetorialmente:
\mathbf{D}(3{,}5)=2{,}53\times10^{-6}\\ \hat{\mathbf{r}}\\ \mathrm{C/m^2}.

Resposta

\Phi(1{,}5)=\dfrac{8\pi\times10^{-6}}{\varepsilon_0}\approx 2{,}84\times10^{6}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}
\Phi(2{,}5)=\dfrac{-56\pi\times10^{-6}}{\varepsilon_0}\approx -1{,}99\times10^{7}\\ \mathrm{N\cdot m^2/C}
\mathbf{D}(0{,}5)=\mathbf{0}
\mathbf{D}(2{,}5)=-2{,}24\times10^{-6}\\ \hat{\mathbf{r}}\\ \mathrm{C/m^2}
\mathbf{D}(3{,}5)=2{,}53\times10^{-6}\\ \hat{\mathbf{r}}\\ \mathrm{C/m^2}

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