Uma caixa pesando 800 N é apoiada por dois fios com tensões T1 e T2, Encontre cada uma das duas tensões. O fio de T2 forma um ângulo de
o fio de T 1 forma um ângulo de
e os dois fios formam um triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa que pesa 800 N e ela tá sendo sustentada por dois fios. Cada fio tem uma tensão, que a gente vai chamar de $ T_1 $ e $ T_2 $. O fio com tensão $ T_1 $ forma um ângulo de $ 30^{\circ} $ com a horizontal, e o fio com tensão $ T_2 $ faz um ângulo de $ 60^{\circ} $. Nosso objetivo é descobrir quanto é cada uma dessas tensões. Pra isso, vamos usar um pouco de trigonometria e as condições de equilíbrio estático.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que a caixa está em equilíbrio, ou seja, todas as forças que atuam sobre ela se anulam. Isso significa que a soma das forças horizontais e a soma das forças verticais devem ser zero.
Passo 3
Vamos dividir as tensões dos fios em componentes horizontais e verticais. Para o fio com tensão $ T_1 $:
- Componente horizontal: $ T_1 \cos(30^{\circ}) $
- Componente vertical: $ T_1 \sin(30^{\circ}) $
Para o fio com tensão $ T_2 $:
- Componente horizontal: $ T_2 \cos(60^{\circ}) $
- Componente vertical: $ T_2 \sin(60^{\circ}) $
Passo 4
Agora, aplicamos as condições de equilíbrio. Primeiro, para as forças horizontais:
Isso porque as forças horizontais dos dois fios devem se equilibrar, já que não tem nenhuma força horizontal agindo na caixa além dessas.
Passo 5
Para as forças verticais, a soma das componentes verticais dos dois fios deve igualar o peso da caixa:
Isso garante que a caixa esteja sustentada adequadamente.
Passo 6
Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação horizontal:
Sabemos que $ \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $. Substituindo:
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Então, podemos expressar $ T_2 $ em termos de $ T_1 $:
Passo 7
Agora, substituímos $ T_2 $ na equação vertical:
Sabemos que $ \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} $ e $ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Substituindo:
Simplificando:
Passo 8
Dividindo ambos os lados por 2 para encontrar $ T_1 $:
Agora, lembrando que $ T_2 = T_1 \sqrt{3} $:
Resposta
As tensões nos fios são aproximadamente $ T_1 = 400 , N $ e $ T_2 = 692,8 , N $.