Uma caixa pesando 800 N é apoiada por dois fios com tensões T1 e T2, Encontre cada uma das duas tensões. O fio de T2 forma um ângulo de 60^circ e o fio de T 1 forma um ângulo de 30^circ e os dois fios formam um triângulo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma caixa que pesa 800 N e ela tá sendo sustentada por dois fios. Cada fio tem uma tensão, que a gente vai chamar de $ T_1 $ e $ T_2 $. O fio com tensão $ T_1 $ forma um ângulo de $ 30^{\circ} $ com a horizontal, e o fio com tensão $ T_2 $ faz um ângulo de $ 60^{\circ} $. Nosso objetivo é descobrir quanto é cada uma dessas tensões. Pra isso, vamos usar um pouco de trigonometria e as condições de equilíbrio estático.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que a caixa está em equilíbrio, ou seja, todas as forças que atuam sobre ela se anulam. Isso significa que a soma das forças horizontais e a soma das forças verticais devem ser zero.

Passo 3

Vamos dividir as tensões dos fios em componentes horizontais e verticais. Para o fio com tensão $ T_1 $:
  • Componente horizontal: $ T_1 \cos(30^{\circ}) $
  • Componente vertical: $ T_1 \sin(30^{\circ}) $
Para o fio com tensão $ T_2 $:
  • Componente horizontal: $ T_2 \cos(60^{\circ}) $
  • Componente vertical: $ T_2 \sin(60^{\circ}) $

Passo 4

Agora, aplicamos as condições de equilíbrio. Primeiro, para as forças horizontais:
T1 cos(30^circ) = T2 cos(60^circ)
Isso porque as forças horizontais dos dois fios devem se equilibrar, já que não tem nenhuma força horizontal agindo na caixa além dessas.

Passo 5

Para as forças verticais, a soma das componentes verticais dos dois fios deve igualar o peso da caixa:
T1 sin(30^circ) + T2 sin(60^circ) = 800 , N
Isso garante que a caixa esteja sustentada adequadamente.

Passo 6

Vamos resolver o sistema de equações. Primeiro, da equação horizontal:
T1 cos(30^circ) = T2 cos(60^circ)
Sabemos que $ \cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $ e $ \cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2} $. Substituindo:
cos(30^circ) = raiz32
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
cos(60^circ) = 12
Então, podemos expressar $ T_2 $ em termos de $ T_1 $:
T1 cdot raiz32 = T2 cdot 12

Passo 7

Agora, substituímos $ T_2 $ na equação vertical:
T2
Sabemos que $ \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} $ e $ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Substituindo:
T1 sin(30^circ) + T1 raiz3 sin(60^circ) = 800
Simplificando:
sin(30^circ) = 12
sin(60^circ) = raiz32
T1 cdot 12 + T1 raiz3 cdot raiz32 = 800

Passo 8

Dividindo ambos os lados por 2 para encontrar $ T_1 $:
T1
Agora, lembrando que $ T_2 = T_1 \sqrt{3} $:
T1 = 400 , N

Resposta

As tensões nos fios são aproximadamente $ T_1 = 400 , N $ e $ T_2 = 692,8 , N $.

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