Uma partícula desliza por uma pista com as extremidades elevadas e uma parte central plana. A partícula é largada do ponto A , que está a uma altura de 1,0 m acima da parte plana, cujo comprimento é L=2,0 m. Não há atrito nas partes curvas. (a) Onde a partícula irá parar, se o coeficiente de atrito cinético na parte plana da pista é 0,23 ?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo e quais conceitos vamos usar. Temos uma partícula que começa no ponto A, que está 1 metro acima da parte plana de uma pista. A parte plana tem 2 metros de comprimento e há atrito apenas nessa parte, com coeficiente cinético de 0,23. Queremos descobrir onde a partícula vai parar depois de descer. Para resolver isso, vamos usar conceitos de energia (como energia potencial e cinética) e as leis do atrito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a energia que a partícula tem no ponto A. Como ela está a uma altura de 1 metro, ela possui energia potencial gravitacional. A fórmula para energia potencial é:
Ep = m cdot g cdot h
onde:
- $ m $ é a massa da partícula,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ( m ²),
- $ h $ é a altura (1,0 m).

Passo 3

Quando a partícula desce sem atrito nas partes curvas, toda essa energia potencial se transforma em energia cinética na parte plana. A energia cinética é dada por:
Ek = 12 m v² ²
onde $ v $ é a velocidade da partícula na base da subida.
Como a energia potencial inicial se iguala à energia cinética na base:
v ²
Podemos simplificar cancelando $ m $ dos dois lados:
m cdot g cdot h = 12 m v² ²
m ²
g cdot h = 12 v²
Substituindo $ g = 9,8 , m/s² $ e $ h = 1,0 , m $:
v² = 2 cdot g cdot h
v = raiz2 cdot g cdot h
g = 9,8 , m/s²

Passo 4

Agora que sabemos a velocidade que a partícula tem ao chegar na parte plana, vamos analisar o que acontece nessa parte plana com atrito. O atrito faz com que a partícula desacelere até parar. A força de atrito $ F_a $ é dada por:
Fa
onde:
- $ \mu = 0,23 $ é o coeficiente de atrito cinético,
- $ N $ é a força normal, que nesse caso é igual ao peso da partícula $ m \cdot g $.
Então:
Fa = mu cdot N

Passo 5

Para encontrar a distância que a partícula vai percorrer na parte plana antes de parar, usamos o trabalho realizado pelo atrito. O trabalho $ W $ é igual à força de atrito multiplicada pela distância $ d $:
W
Esse trabalho é igual à energia cinética inicial:
d ²
Novamente, podemos simplificar cancelando $ m $:
W = Fa cdot d ²
12 m v² = mu cdot m cdot g cdot d ²
Substituindo os valores que temos:
m
12 v² = mu cdot g cdot d
d = 12 v²mu cdot g
d = 0,5 cdot (4,43)^20,23 cdot 9,8

Resposta

A partícula irá parar aproximadamente a 4,35 metros da base do ponto A na parte plana da pista.

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