Uma caixa retangular, aberta na parte superior, deve conter 256 cm cúbicos de areia. Encontre as dimensões para as quais a área da superfície (fundo e quatro lados) é mínima.
Passo 1
O enunciado pede as dimensões de uma caixa retangular aberta (sem tampa) de volume fixo para que sua área da superfície (fundo mais os quatro lados) seja mínima. Vamos chamar as arestas da base de e (em cm) e a altura de (em cm). O volume fixo dá a restrição
A área da superfície aberta é
Passo 2
Para reduzir o problema a duas variáveis, expressamos ,z em função de ,x e ,y usando a restrição de volume:
Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
partial Spartial x = y ;-;512x^2 ;=;0 Longrightarrow y = 512x^2,
partial Spartial y = x ;-;512y^2 ;=;0 Longrightarrow x = 512y^2
Passo 4
Do sistema
y,x^2 = 512, x,y^2 = 512,
dividindo a primeira equação pela segunda vem ,x/y=1, ou seja, ,x = y. Então,
x^3 = 512 Longrightarrow x = raiz[,3]512 = 8 cm,
e também y=8 cm. Finalmente,
z = 256xy = 2568cdot8 = 4 cm
Passo 5
Podemos argumentar que esse ponto crítico é mínimo porque, quando x ou y tendem a zero ou +infty, S(x,y)to+infty. Logo, a combinação encontrada realmente minimiza a área.