Uma caixa retangular, aberta na parte superior, deve conter 256 cm cúbicos de areia. Encontre as dimensões para as quais a área da superfície (fundo e quatro lados) é mínima.

Passo 1

O enunciado pede as dimensões de uma caixa retangular aberta (sem tampa) de volume fixo ,256 cm^3 para que sua área da superfície (fundo mais os quatro lados) seja mínima. Vamos chamar as arestas da base de ,x e ,y (em cm) e a altura de ,z (em cm). O volume fixo dá a restrição
xyz = 256
A área da superfície aberta é
S = underbracexyfundo ;+; 2underbracexzdois lados ;+; 2underbraceyzdois lados

Passo 2

Para reduzir o problema a duas variáveis, expressamos ,z em função de ,x e ,y usando a restrição de volume:
z = 256xy
Substituindo em S obtemos
S(x,y) = xy ;+; 2x!l(tfrac256xyr);+;2y!l(tfrac256xyr) = xy ;+;512y;+;512x

Passo 3

Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
partial Spartial x = y ;-;512x^2 ;=;0 Longrightarrow y = 512x^2,
partial Spartial y = x ;-;512y^2 ;=;0 Longrightarrow x = 512y^2

Passo 4

Do sistema
y,x^2 = 512, x,y^2 = 512,
dividindo a primeira equação pela segunda vem ,x/y=1, ou seja, ,x = y. Então,
x^3 = 512 Longrightarrow x = raiz[,3]512 = 8 cm,
e também y=8 cm. Finalmente,
z = 256xy = 2568cdot8 = 4 cm

Passo 5

Podemos argumentar que esse ponto crítico é mínimo porque, quando x ou y tendem a zero ou +infty, S(x,y)to+infty. Logo, a combinação encontrada realmente minimiza a área.

Resposta

As dimensões que minimizam a área são:
x = 8 cm, y = 8 cm, z = 4 cm

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