Determine o ponto do plano de equação
x-y+2 z=3
mais próximo da origem (0,0,0).

Passo 1

O enunciado pede o ponto da reta x - y + 2z = 3 que fica mais perto da origem. O conteúdo aqui é minimizar a distância de um ponto ao plano, usando a ideia de projeção ortogonal: o trecho mais curto sai da origem e é perpendicular ao plano.

Passo 2

O vetor normal ao plano é
n = (1,-1,2).
O pé da perpendicular à partir da origem deve estar na direção de n, logo um ponto genérico nessa direção é
P = tn = (t,,-t,,2t),
com tinR.

Passo 3

Para que P=(t,-t,2t) pertença ao plano, deve satisfazer
x - y + 2z = 3
Substituindo as coordenadas de P:
t - (-t) + 2,(2t) = 3 Longrightarrow 6t = 3 Longrightarrow t = tfrac12

Passo 4

Substituindo t = tfrac12 em P = (t,-t,2t), obtemos
P = l(tfrac12,,-tfrac12,,1r)
Esse é o pé da perpendicular da origem ao plano, portanto o ponto mais próximo.

Resposta

l(tfrac12,,-tfrac12,,1r)

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