As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
Passo 1
Temos a EDO autônoma
e queremos achar os pontos de equilíbrio (soluções constantes) e classificá-los em estáveis ou instáveis usando a teoria de análise de fase para equações autônomas.
Passo 2
Um ponto de equilíbrio
satisfaz
Daí
, logo
Passo 3
Para classificar a estabilidade, definimos
e calculamos
Em
temos
Como a derivada é positiva,
é um ponto de repulsão, ou seja, instável.
Passo 4
Análise de sinais de
:
- Se
, então e , logo : soluções decrescem. - Se
, então e , logo : soluções crescem.
O diagrama de fase (linha de fases) fica com setas apontando para a esquerda quando
e para a direita quando
, confirmando que
repele trajetórias.
Passo 5
Esboço qualitativo das soluções
no plano
:
- Para
, cresce monotonicamente e explode para em tempo finito (a concavidade é para cima e fica cada vez mais acentuada). - Para
, decresce monotonicamente, tende a quando e aproxima-se de quando .
Esses esboços evidenciam que todas as soluções são repelidas de
.
Resposta
O único ponto de equilíbrio é
e ele é instável.