As equações abaixo são equações autônomas. Em cada item, determine os pontos de equilíbrio e classifique cada um deles como estável ou instável. Em seguida, esboce diversos gráficos das soluções.
d yd t=e^y-1, infty<y0<infty

Passo 1

Temos a EDO autônoma
dydt=e^y-1,
e queremos achar os pontos de equilíbrio (soluções constantes) e classificá-los em estáveis ou instáveis usando a teoria de análise de fase para equações autônomas.

Passo 2

Um ponto de equilíbrio y^* satisfaz
e^y^*-1=0
Daí e^y^*=1, logo
y^*=0

Passo 3

Para classificar a estabilidade, definimos f(y)=e^y-1 e calculamos
f'(y)=e^y
Em y=0 temos
f'(0)=e^0=1>0
Como a derivada é positiva, y=0 é um ponto de repulsão, ou seja, instável.

Passo 4

Análise de sinais de f(y):
  • Se y<0, então e^y<1 e f(y)<0, logo dy/dt<0: soluções decrescem.
  • Se y>0, então e^y>1 e f(y)>0, logo dy/dt>0: soluções crescem.
O diagrama de fase (linha de fases) fica com setas apontando para a esquerda quando y<0 e para a direita quando y>0, confirmando que y=0 repele trajetórias.

Passo 5

Esboço qualitativo das soluções y(t) no plano (t,y):
  • Para y(0)=y0>0, y(t) cresce monotonicamente e explode para +infty em tempo finito (a concavidade é para cima e fica cada vez mais acentuada).
  • Para y(0)=y0<0, y(t) decresce monotonicamente, tende a -infty quando tto+infty e aproxima-se de 0 quando tto-infty.
Esses esboços evidenciam que todas as soluções são repelidas de y=0.

Resposta

O único ponto de equilíbrio é y=0 e ele é instável.

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