Seja
f(x)=4+3 x-x^{2}
Calcule \frac{f(x+h)-f(x)}{h}. Simplifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá a função f e pede para calcular uma razão de diferença. Informações fornecidas:
  • A função é f(x)=4+3x-x^{2}.
  • A expressão pedida é \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}.
  • Pressuposição necessária para a razão: h\neq 0 (pois não podemos dividir por zero).
    O objetivo é manipular algebricamente essa expressão e simplificá‑la.

Passo 2

O que significa \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}?
  • Aqui x é a variável onde a função é avaliada.
  • h representa um pequeno incremento (uma diferença) aplicado a x.
  • A expressão calcula a variação média de f quando x aumenta em h. Para simplificar, vamos apenas tratar h como uma variável e fazer álgebra normal, lembrando que h\neq 0.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: substituir x por x+h na definição de f para obter f(x+h).
f(x+h)=4+3(x+h)-(x+h)^{2}

Passo 4

Agora expandir os termos em f(x+h). Primeiro expandir a multiplicação e o quadrado:
3(x+h)=3x+3h
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}
Substituindo na expressão de f(x+h) obtemos:
f(x+h)=4+(3x+3h)-(x^{2}+2xh+h^{2})=4+3x+3h-x^{2}-2xh-h^{2}

Passo 5

Calcular o numerador f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=4+3x-x^{2}. Então:
\begin{aligned} f(x+h)-f(x)&=\bigl(4+3x+3h-x^{2}-2xh-h^{2}\bigr)-\bigl(4+3x-x^{2}\bigr)\\[4pt] &=4+3x+3h-x^{2}-2xh-h^{2}-4-3x+x^{2} \end{aligned}
Agora cancelar termos iguais com sinais opostos:
4-4=0,\qquad 3x-3x=0,\qquad -x^{2}+x^{2}=0
sobram:
f(x+h)-f(x)=3h-2xh-h^{2}]

Passo 6

Fatorar h no numerador para poder simplificar com o denominador h:
3h-2xh-h^{2}=h(3-2x-h)
Portanto a razão fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(3-2x-h)}{h}

Passo 7

Como h\neq 0, podemos cancelar h no numerador e denominador. Assim a expressão simplificada é
3-2x-h.
Observe que após cancelar, a expressão vale para todo h\neq 0; se alguém quiser considerar o limite quando h\to 0, basta substituir h=0 e obter 3-2x, mas o enunciado pediu apenas a simplificação algébrica.

Resposta

3-2x-h

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