Seja
Calcule
. Simplifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular uma razão de diferença. Informações fornecidas:
- A função é
. - A expressão pedida é
. - Pressuposição necessária para a razão:
(pois não podemos dividir por zero).
O objetivo é manipular algebricamente essa expressão e simplificá‑la.
Passo 2
O que significa
?
- Aqui
é a variável onde a função é avaliada. -
representa um pequeno incremento (uma diferença) aplicado a . - A expressão calcula a variação média de
quando aumenta em . Para simplificar, vamos apenas tratar como uma variável e fazer álgebra normal, lembrando que .
Passo 3
Primeiro passo algébrico: substituir
por
na definição de
para obter
.
Passo 4
Agora expandir os termos em
. Primeiro expandir a multiplicação e o quadrado:
Substituindo na expressão de
obtemos:
Passo 5
Calcular o numerador
. Lembrando que
. Então:
Agora cancelar termos iguais com sinais opostos:
sobram:
Passo 6
Fatorar
no numerador para poder simplificar com o denominador
:
Portanto a razão fica
Passo 7
Como
, podemos cancelar
no numerador e denominador. Assim a expressão simplificada é
Observe que após cancelar, a expressão vale para todo
; se alguém quiser considerar o limite quando
, basta substituir
e obter
, mas o enunciado pediu apenas a simplificação algébrica.