Uma certa indústria produz dois tipos de ligas metálicas. O custo total da produção dessas ligas é expresso pela função C(x, y)=x^2+100 x+y^2-x y e a receita total obtida com a vendas dessas ligas é dada pela função R(x, y)=100 x-x^2+2000 y+x y, onde x e y representam a quantidade de toneladas de cada uma das ligas. Determine o nível de produção que maximiza o lucro dessa indústria.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as quantidades de toneladas x e y que maximizam o lucro de uma indústria cujas funções de custo e receita são dadas. Estamos no tema de otimização de funções de duas variáveis e precisaremos usar derivadas parciais e teste do Hessiano.

Passo 2

Definimos a função lucro P(x,y) como a diferença entre receita e custo. Ou seja,
P(x,y)=R(x,y)-C(x,y)=l(100x - x^2 + 2000y + xyr)-l(x^2 +100x + y^2 -xyr)
Simplificando,
P(x,y)=-2x^2 + 2xy - y^2 +2000y

Passo 3

Para achar o ponto crítico, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Ppartial x=-4x+2y=0,
partial Ppartial y=2x-2y+2000=0

Passo 4

Resolvendo esse sistema, da primeira equação temos y=2x. Substituindo na segunda:
2x -2(2x)+2000=0 implies -2x+2000=0 implies x=1000,
e então y=2\cdot1000=2000.

Passo 5

Para garantir que esse ponto é um máximo, montamos o Hessiano de P:
H=Pxx & Pxy Pyx & Pyy=-4 & 22 & -2

Passo 6

Calculamos os principais menores: det(H_{1})=-4<0 e det(H)=(-4)(-2)-2\cdot2=4>0. Como o primeiro menor é negativo e o segundo é positivo, H é negativo definido, confirmando um máximo local.

Resposta

A produção que maximiza o lucro é x = 1000 toneladas da primeira liga e y = 2000 toneladas da segunda liga.

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