Uma certa indústria produz dois tipos de ligas metálicas. O custo total da produção dessas ligas é expresso pela função
e a receita total obtida com a vendas dessas ligas é dada pela função
, onde
e
representam a quantidade de toneladas de cada uma das ligas. Determine o nível de produção que maximiza o lucro dessa indústria.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as quantidades de toneladas x e y que maximizam o lucro de uma indústria cujas funções de custo e receita são dadas. Estamos no tema de otimização de funções de duas variáveis e precisaremos usar derivadas parciais e teste do Hessiano.
Passo 2
Definimos a função lucro P(x,y) como a diferença entre receita e custo. Ou seja,
Simplificando,
Passo 3
Para achar o ponto crítico, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo esse sistema, da primeira equação temos y=2x. Substituindo na segunda:
e então y=2\cdot1000=2000.
Passo 5
Para garantir que esse ponto é um máximo, montamos o Hessiano de P:
Passo 6
Calculamos os principais menores: det(H_{1})=-4<0 e det(H)=(-4)(-2)-2\cdot2=4>0. Como o primeiro menor é negativo e o segundo é positivo, H é negativo definido, confirmando um máximo local.
Resposta
A produção que maximiza o lucro é x = 1000 toneladas da primeira liga e y = 2000 toneladas da segunda liga.