Uma caixa retangular é inscrita no cone z=9-raizx^2+y^2, z >= 0. Determine as dimensões da caixa que maximiza o seu volume.

Passo 1

O enunciado pede a caixa retangular de arestas paralelas aos eixos inscrita no cone
z = 9 - raizx^2 + y^2, z>=0
e apoiada no plano z=0, cuja volume devemos maximizar. Vamos usar cálculo de máximos com a restrição geométrica imposta pelo cone.

Passo 2

Coloquemos a caixa centrada no eixo z, com semi-eixos na base a em x e b em y. Assim a largura é 2a, a profundidade é 2b e a altura z deve satisfazer
z = 9 - raiza^2 + b^2
para que a aresta superior toque o cone. Logo o volume é
V(a,b) = (2a),(2b),z = 4,a,b,(9 - raiza^2 + b^2),

Passo 3

Por simetria do problema V(a,b) é maximizado quando a base é quadrada, isto é, a=b. Substituindo b=a em V obtemos função de uma variável:
V(a) = 4,a^2l(9 - raiz2,ar),

Passo 4

Para maximizar V(a) calculamos a derivada e igualamos a zero:
dVda =4l(2a(9 - raiz2,a)+a^2(-raiz2)r) =8a(9 - raiz2,a)-4raiz2,a^2 =72a -12raiz2,a^2
Logo
72a -12raiz2,a^2=0 ;Longrightarrow; al(72 -12raiz2,ar)=0 ;Longrightarrow; a = 7212raiz2 = 6raiz2 = 3raiz2,

Passo 5

A altura da caixa é
z = 9 - raiz2,a = 9 - raiz2,(3raiz2) = 9 - 6 = 3
Portanto a caixa que maximiza o volume tem base de lado
2a = 2,(3raiz2) = 6raiz2
e altura 3.

Resposta

A caixa de volume máximo tem dimensões
6raiz2times6raiz2times3.

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