Uma caixa retangular é inscrita no cone
. Determine as dimensões da caixa que maximiza o seu volume.
Passo 1
O enunciado pede a caixa retangular de arestas paralelas aos eixos inscrita no cone
e apoiada no plano
, cuja volume devemos maximizar. Vamos usar cálculo de máximos com a restrição geométrica imposta pelo cone.
Passo 2
Coloquemos a caixa centrada no eixo
, com semi-eixos na base
em
e
em
. Assim a largura é
, a profundidade é
e a altura
deve satisfazer
para que a aresta superior toque o cone. Logo o volume é
Passo 3
Por simetria do problema
é maximizado quando a base é quadrada, isto é,
. Substituindo
em
obtemos função de uma variável:
Passo 4
Para maximizar
calculamos a derivada e igualamos a zero:
Logo
Passo 5
A altura da caixa é
Portanto a caixa que maximiza o volume tem base de lado
e altura
.
Resposta
A caixa de volume máximo tem dimensões
.