Resolva o problema de valor inicial.
1theta d yd theta=y sen thetay^2+1, y(pi)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com valor inicial
1theta,dydtheta=ysinthetay^2+1, y(pi)=1,
que é uma equação de variáveis separáveis. Vamos separar y e theta e depois integrar.

Passo 2

Multiplicando os dois lados por theta e por y^2+1y, obtemos
dydtheta=theta,ysinthetay^2+1 ;Longrightarrow; y^2+1y,dy=thetasintheta,dtheta

Passo 3

Integramos cada lado. No lado esquerdo:
integraly^2+1y,dy =integrall(y+1yr),dy =y^22+lnlvert yrvert
No lado direito fazemos integração por partes com u=theta, dv=sintheta,dtheta:
integral thetasintheta,dtheta =-thetacostheta+integralcostheta,dtheta =-thetacostheta+sintheta
Assim a integral geral é
y^22+lnlvert yrvert =-thetacostheta+sintheta+C

Passo 4

Usamos y(pi)=1 para achar C. Substituindo theta=pi, y=1:
1^22+ln1 =12+0 =-picospi+sinpi+C =pi+0+C ;Longrightarrow; C=12-pi
Logo a solução implícita é
y^22+ln y =-thetacostheta+sintheta+12-pi

Resposta

y^22+ln y =-thetacostheta+sintheta+12-pi,
com a condição inicial y(pi)=1.

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