QUESTÃO 5 - Uma gota esférica evapora de forma que seu volume decresça a uma taxa proporcional à area de sua superfície. Se o raio da gota no tempo
é de
, e no instante
é de
, qual será o raio da gota no instante
?
Passo 1
O enunciado diz que uma gota esférica tem volume
que decresce a uma taxa proporcional à área da superfície
. Precisamos usar a relação
montar a equação diferencial que relaciona
com
, resolver para
, determinar a constante de proporcionalidade usando os dados iniciais e, por fim, calcular
.
Passo 2
A lei de proporcionalidade diz
onde
é a constante de proporcionalidade. Substituindo
, fica
Passo 3
Por outro lado, derivando
em relação a
temos
Igualando as duas expressões para
:
Passo 4
A equação
é fácil de integrar:
Como
, temos
Passo 5
Usando o dado
:
Passo 6
Substituindo
em
para
:
Resposta
O raio da gota no instante
será
.