QUESTÃO 5 - Uma gota esférica evapora de forma que seu volume decresça a uma taxa proporcional à area de sua superfície. Se o raio da gota no tempo t=0 s é de 2 m m, e no instante t=1 s é de 1,8 mm, qual será o raio da gota no instante t=3 s ?

Passo 1

O enunciado diz que uma gota esférica tem volume V que decresce a uma taxa proporcional à área da superfície A. Precisamos usar a relação
V = 43pi r^3,
A = 4pi r^2,
montar a equação diferencial que relaciona dVdt com A, resolver para r(t), determinar a constante de proporcionalidade usando os dados iniciais e, por fim, calcular r(3).

Passo 2

A lei de proporcionalidade diz
dVdt = -k,A,
onde k>0 é a constante de proporcionalidade. Substituindo A = 4pi r^2, fica
dVdt = -k,(4pi r^2)

Passo 3

Por outro lado, derivando V=43pi r^3 em relação a t temos
dVdt = ddtl(tfrac43pi r^3r) = 4pi r^2,drdt
Igualando as duas expressões para dVdt:
4pi r^2,drdt = -4pi k,r^2 Longrightarrow drdt = -k

Passo 4

A equação drdt=-k é fácil de integrar:
r(t) = r(0) - k,t
Como r(0)=2 mm, temos
r(t) = 2 - k,t

Passo 5

Usando o dado r(1)=1,8 mm:
1,8 = 2 - kcdot 1 Longrightarrow k = 2 - 1,8 = 0,2 mm/s

Passo 6

Substituindo k=0,2 em r(t)=2 - 0,2,t para t=3:
r(3) = 2 - 0,2cdot 3 = 2 - 0,6 = 1,4 mm

Resposta

O raio da gota no instante t=3 s será 1,4 mm.

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