A temperatura
num ponto qualquer (
) do espaço é
. Determine a temperatura máxima na superfície da esfera
(temperatura em
).
Passo 1
O enunciado dá a temperatura em qualquer ponto
como
e impõe a restrição de que o ponto está na esfera
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o máximo de
sobre essa esfera.
Passo 2
Definimos o lagrangiano
As condições necessárias são
além da restrição
Passo 3
Das duas primeiras condições temos
Passo 4
Da condição em
temos, para
,
Das equações em
ou
obtemos também
Igualando com
e usando
:
se , então
se
Passo 5
Usando
e a restrição
Para esse ponto
Esse valor é positivo e corresponde ao máximo de
(nos casos
ou sinais opostos de
dá produto negativo ou igual em valor absoluto, mas não maior).
Resposta
A temperatura máxima na esfera é
.