A temperatura T num ponto qualquer ( x, y, z ) do espaço é T=T(x, y, z)=400 x y z^2. Determine a temperatura máxima na superfície da esfera x^2+y^2+z^2=1 (temperatura em ^circ C ).

Passo 1

O enunciado dá a temperatura em qualquer ponto (x,y,z) como
T(x,y,z)=400,x,y,z^2
e impõe a restrição de que o ponto está na esfera
x^2+y^2+z^2=1
O conteúdo é otimização com restrição, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange para encontrar o máximo de T sobre essa esfera.

Passo 2

Definimos o lagrangiano
L(x,y,z,lambda) =400,x,y,z^2 -lambdal(x^2+y^2+z^2-1r)
As condições necessárias são
partialLpartial x =400,y,z^2-2lambda x=0,
partialLpartial y =400,x,z^2-2lambda y=0,
partialLpartial z =800,x,y,z-2lambda z=0,
além da restrição
x^2+y^2+z^2=1

Passo 3

Das duas primeiras condições temos
400,y,z^2=2lambda x e 400,x,z^2=2lambda y ;Longrightarrow; yx=xy ;Longrightarrow; y^2=x^2 ;Longrightarrow; y=pm x

Passo 4

Da condição em z temos, para zneq0,
800,x,y,z=2lambda z ;Longrightarrow; 800,x,y=2lambda
Das equações em x ou y obtemos também
400,z^2=2lambda ;Longrightarrow; lambda=200,z^2
Igualando com 800,x,y=2lambda e usando y=pm x:
se y=x, então
800,x^2=2lambda=400,z^2 ;Longrightarrow; z^2=2,x^2

Passo 5

Usando y=x e a restrição
x^2+y^2+z^2 = x^2+x^2+2x^2 =4x^2=1 ;Longrightarrow; x^2=tfrac14, ; z^2=tfrac12
Para esse ponto
T=400;x,y,z^2 =400,(x^2),(z^2) =400cdottfrac14cdottfrac12 =50
Esse valor é positivo e corresponde ao máximo de T (nos casos y=-x ou sinais opostos de z dá produto negativo ou igual em valor absoluto, mas não maior).

Resposta

A temperatura máxima na esfera é 50 ^circC.

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