Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com
de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa, utilizando o método dos Multiplicadores de Lagrange.
Método dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores máximo e mínimo de
sujeitos à restrição
[supondo que esses valores extremos existam e que
sobre a superfície
]:
(a) Determine todos os valores de
e
tais que
(b) Calcule
em todos os pontos
que resultaram do passo (a). O maior desses valores será o valor máximo de
, e o menor será o valor mínimo de
.
Método dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores máximo e mínimo de
(a) Determine todos os valores de
Passo 1
Estamos lidando com uma caixa retangular sem tampa de dimensões $x, y, z$ e queremos maximizar o volume sob a restrição de área de superfície de \12 m^2\. O conteúdo é o método dos Multiplicadores de Lagrange: f(x,y,z)=volume e g(x,y,z)=área de superfície sem tampa.
Passo 2
Definimos as funções
com a condição g(x,y,z)=12. Calculamos os gradientes:
O sistema de Lagrange é:
Passo 3
Comparando as duas primeiras equações:
e
se \z\≠0, cancelamos \z\ e obtemos
Passo 4
Comparando a primeira e a terceira equação:
e
substituindo \lambda\ e simplificando (y≠0) chega-se a
Como já vimos que \y=x\, concluímos
\x=y=2z\.
\x=y=2z\.
Passo 5
Substituímos x=y=2z na restrição de área:
o que vira
(considerando dimensões positivas). Logo x=y=2.
Passo 6
Calculamos o volume máximo:
em unidades de metros cúbicos.