Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m^2 de papelão. Determine o volume máximo dessa caixa, utilizando o método dos Multiplicadores de Lagrange.
Método dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores máximo e mínimo de f(x, y, z) sujeitos à restrição g(x, y, z)=k [supondo que esses valores extremos existam e que nabla g neq 0 sobre a superfície g(x, y, z)=k]:
(a) Determine todos os valores de x, y, z e lambda tais que
l nabla f(x, y, z)=lambda nabla g(x, y, z) g(x, y, z)=k
e
(b) Calcule f em todos os pontos (x, y, z) que resultaram do passo (a). O maior desses valores será o valor máximo de f, e o menor será o valor mínimo de f.

Passo 1

Estamos lidando com uma caixa retangular sem tampa de dimensões $x, y, z$ e queremos maximizar o volume sob a restrição de área de superfície de \12 m^2\. O conteúdo é o método dos Multiplicadores de Lagrange: f(x,y,z)=volume e g(x,y,z)=área de superfície sem tampa.

Passo 2

Definimos as funções
f(x,y,z)=xyz
g(x,y,z)=xy+2xz+2yz
com a condição g(x,y,z)=12. Calculamos os gradientes:
abla f=(yz,;xz,;xy)
abla g=(y+2z,;x+2z,;2x+2y)
O sistema de Lagrange é:
yz=lambda(y+2z),
xz=lambda(x+2z),
xy=lambda(2x+2y),
xy+2xz+2yz=12

Passo 3

Comparando as duas primeiras equações:
yz=lambda(y+2z)
e
xz=lambda(x+2z)
se \z\≠0, cancelamos \z\ e obtemos
y(x+2z)=x(y+2z)implies y=x

Passo 4

Comparando a primeira e a terceira equação:
yz=lambda(y+2z)
e
xy=lambda(2x+2y)
substituindo \lambda\ e simplificando (y≠0) chega-se a
2z=x
Como já vimos que \y=x\, concluímos
\x=y=2z\.

Passo 5

Substituímos x=y=2z na restrição de área:
xy+2xz+2yz=12
o que vira
(2z)^2+4(2z)z=12
4z^2+8z^2=12implies 12z^2=12implies z^2=1implies z=1
(considerando dimensões positivas). Logo x=y=2.

Passo 6

Calculamos o volume máximo:
V=x y z=(2)(2)(1)=4
em unidades de metros cúbicos.

Resposta

4,m^3

Exercícios relacionados