Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
em que
e
é a superfície exterior ao paraboloide
, acima do plano
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o fluxo
onde
e
é a superfície exterior que fecha o sólido limitado pelo paraboloide
acima do plano
. O conteúdo principal é o Teorema do Divergente, que nos permite transformar um fluxo de superfície em uma integral de volume sobre a região fechada
.
Passo 2
Pelo Teorema do Divergente temos
Então precisamos achar o divergente de
e descrever a região
.
Passo 3
Calcular o divergente:
Passo 4
A região
é dada por
ou seja um cilindro projetado no disco
e limitado acima pelo paraboloide
e abaixo por
.
Passo 5
Montamos a integral de volume:
Pela simetria em
e
,
. Restando calcular apenas
.
Passo 6
Em coordenadas cilíndricas:
Calculando:
logo
.
Passo 7
Assim o fluxo é