Use o Teorema do Divergente para calcular a integral
integral duplaS F cdot d S
em que F(x, y, z)=(2 x z, 1-4 x y^2, 2 z-z^2) e S é a superfície exterior ao paraboloide z+2 x^2+2 y^2=7, acima do plano z=1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo integral duplaSvec Fcdot dS onde vec F(x,y,z)=(2xz,,1-4xy^2,,2z-z^2) e S é a superfície exterior que fecha o sólido limitado pelo paraboloide z+2x^2+2y^2=7 acima do plano z=1. O conteúdo principal é o Teorema do Divergente, que nos permite transformar um fluxo de superfície em uma integral de volume sobre a região fechada V.

Passo 2

Pelo Teorema do Divergente temos
integral duplaSvec Fcdot dS=integral triplaVnablacdotvec F,dV
Então precisamos achar o divergente de vec F e descrever a região V.

Passo 3

Calcular o divergente:
nablacdotvec F=partialpartial x(2xz)+partialpartial y(1-4xy^2)+partialpartial z(2z-z^2)=2z-8xy+2-2z=2-8xy

Passo 4

A região V é dada por
1<= z<=7-2(x^2+y^2), x^2+y^2<=3,
ou seja um cilindro projetado no disco x^2+y^2<=3 e limitado acima pelo paraboloide z=7-2r^2 e abaixo por z=1.

Passo 5

Montamos a integral de volume:
integral triplaV(2-8xy),dV=2integral triplaVdV-8integral triplaVxy,dV
Pela simetria em x e y, integral triplaVxy,dV=0. Restando calcular apenas 2,Vol(V).

Passo 6

Em coordenadas cilíndricas:
Vol(V)=integral0^2piintegral0^raiz3l[(7-2r^2)-1r]r,dr,dtheta =integral0^2piintegral0^raiz3(6-2r^2)r,dr,dtheta
Calculando:
integral0^raiz3(6r-2r^3)dr=[3r^2-tfrac12r^4]0^raiz3=9-4.5=4.5,
logo Vol(V)=2picdot4.5=9pi.

Passo 7

Assim o fluxo é
integral duplaSvec Fcdot dS=2,Vol(V)=2cdot9pi=18pi

Resposta

18pi

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