Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de 15 reais para o material. Se o material para a base custa 0.20 reais por centímetro quadrado e o material dos lados custa 0.35 reais por centímetro quadrado, ache as dimensões da caixa de maior volume que pode ser feita.
Passo 1
O enunciado pede a caixa retangular sem tampa de maior volume possível, sujeita ao custo total de 15 R$. O conteúdo é otimização com restrição de custo, e vamos usar derivadas para maximizar o volume dado o custo fixo.
Passo 2
Definimos as variáveis: comprimento
, largura
e altura
(todas em cm). A área da base é
e a área total dos quatro lados é
. Como o material da base custa 0.20 R
/cm², a restrição de custo é:
O volume é
Passo 3
Observamos que o problema é simétrico em
e
, logo na solução ótima teremos
. Substituindo na restrição de custo:
Daí isolamos
Passo 4
Agora o volume em função de
fica
Para achar o máximo, derivamos
Passo 5
Logo
Substituindo em
Verificando que essa escolha de
dá um máximo (pela segunda derivada negativa ou análise de vizinhança), concluímos que é a solução ótima.
Passo 6
As dimensões da caixa de maior volume são, portanto, comprimento e largura iguais a
cm e altura
cm.
Resposta
Comprimento = Largura =
, Altura =
.