Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita a um custo de 15 reais para o material. Se o material para a base custa 0.20 reais por centímetro quadrado e o material dos lados custa 0.35 reais por centímetro quadrado, ache as dimensões da caixa de maior volume que pode ser feita.

Passo 1

O enunciado pede a caixa retangular sem tampa de maior volume possível, sujeita ao custo total de 15 R$. O conteúdo é otimização com restrição de custo, e vamos usar derivadas para maximizar o volume dado o custo fixo.

Passo 2

Definimos as variáveis: comprimento x, largura y e altura z (todas em cm). A área da base é xy e a área total dos quatro lados é 2xz+2yz. Como o material da base custa 0.20 R /cm² e o dos lados 0.35 R²/cm², a restrição de custo é:
0.20,xy , + , 0.35,(2xz + 2yz) ,=,15
O volume é V=xyz.

Passo 3

Observamos que o problema é simétrico em x e y, logo na solução ótima teremos x=y=a. Substituindo na restrição de custo:
0.20,a^2 + 0.35,(4a z) = 15 ,implies,0.20a^2 +1.4a z=15
Daí isolamos z:
z = 15 - 0.20a^21.4a

Passo 4

Agora o volume em função de a fica
V(a)=a^2,z = a^215 - 0.20a^21.4a = 15a -0.20a^31.4
Para achar o máximo, derivamos V(a) em relação a a e igualamos a zero:
V'(a)=15 -0.80a^21.4=0 Longrightarrow a^2=150.80=18.75

Passo 5

Logo
a = raiz18.75=5raiz32approx4.33,cm
Substituindo em z:
z = 15 -0.20times18.751.4times4.33 = 11.256.062 approx1.86,cm
Verificando que essa escolha de a dá um máximo (pela segunda derivada negativa ou análise de vizinhança), concluímos que é a solução ótima.

Passo 6

As dimensões da caixa de maior volume são, portanto, comprimento e largura iguais a tfrac5raiz32 cm e altura tfrac15raiz314 cm.

Resposta

Comprimento = Largura = tfrac5raiz32approx4.33,cm, Altura = tfrac15raiz314approx1.86,cm.

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