Considere as seguintes séries
sumn=1^infty 1(n+1)[ln (n+1)]^1 / 2, sumn=0^infty nraizn^5+1
Qual das alternativas é verdadeira?
a A primeira é divergente e a segunda é convergente.
b Ambas são divergentes.
c) Ambas são convergentes.
d Os testes são inconclusivos para ambas as séries.
(e) A primeirá é convergente e a segunda é divergente.

Passo 1

O enunciado pede pra gente determinar se cada uma das séries abaixo converge ou diverge usando testes de séries infinitas (teste da integral e comparação com série-p):
Temos a primeira série:
sumn=1^infty 1(n+1)[ln(n+1)]^1/2
E a segunda série:
sumn=0^infty nraizn^5+1

Passo 2

Para a primeira série, aplicamos o teste da integral. Consideramos a função
f(x)=1(x+1)[ln(x+1)]^1/2,
que é positiva e decrescente para x grande. Avaliamos
integral1^infty dx(x+1)[ln(x+1)]^1/2
Fazendo a troca de variável u=ln(x+1), temos du=dx/(x+1) e os limites vão de u=ln2 a utoinfty. A integral vira
integralln2^infty u^-1/2,du = 2u^1/2|ln2^infty = infty
Como a integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Para a segunda série, usamos o teste da comparação limite com a série-p de expoente p=3/2>1. Definimos
an = nraizn^5+1, bn = 1n^3/2
Calculamos
limntoinfty anbn = limntoinfty nraizn^5+1 cdot n^3/2 = limntoinfty n^5/2raizn^5+1 = 1
Como 0 e sum bn (série-p com p=3/2) converge, então sum an também converge.

Resposta

A primeira é divergente e a segunda é convergente.

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