Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
z=sen^2(m x^2+n y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ z = \sin^{2}(m x^{2} + n y^{2}) $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e regras de derivação como a regra da cadeia. Precisamos encontrar $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $, $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $, $ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ z $ em relação a $ x $. A função é $ z = \sin^{2}(u) $, onde $ u = m x^{2} + n y^{2} $.
Usamos a regra da cadeia: $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin(u) \cdot \cos(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $.
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
z
Então:
x
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica $ 2 \sin(u) \cos(u) = \sin(2u) $:
z = sin^2(u)

Passo 3

Agora, vamos derivar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ novamente em relação a $ x $ para encontrar $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $.
Temos:
partial zpartial x
Aplicando a regra do produto:
x
Derivando $ \sin(2u) $:
partial^2 zpartial x^2
Então:
partial zpartial x = 2 m x sin(2u)
partial^2 zpartial x^2 = 2 m sin(2u) + 2 m x cdot partialpartial x [sin(2u)]

Passo 4

Vamos encontrar a derivada mista $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $.
Primeiro, encontramos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
partial^2 zpartial x partial y
partial zpartial y
partial zpartial y = 2 sin(u) cos(u) cdot partial upartial y
partial upartial y = 2 n y
Agora, derivamos isso em relação a $ x $:
partial zpartial y = 4 n y sin(u) cos(u)
partial zpartial y = 2 n y sin(2u)
x
partial^2 zpartial x partial y = 2 n y cdot partialpartial x [sin(2u)]

Passo 5

Devido à igualdade das derivadas parciais mistas, temos $ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 8 m n x y \cos(2u) $.

Passo 6

Finalmente, vamos calcular $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $.
Primeiro, derivamos $ \frac{\partial z}{\partial y} = 2 n y \sin(2u) $ em relação a $ y $:
partial^2 zpartial y^2
Derivando $ \sin(2u) $:
partial zpartial y = 2 n y sin(2u)
Então:
y
partial^2 zpartial y^2 = 2 n sin(2u) + 2 n y cdot partialpartial y [sin(2u)]

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:
partial^2 zpartial x^2 = 2 m sin(2(m x^2 + n y^2)) + 8 m^2 x^2 cos(2(m x^2 + n y^2))
partial^2 zpartial x partial y = partial^2 zpartial y partial x = 8 m n x y cos(2(m x^2 + n y^2))
partial^2 zpartial y^2 = 2 n sin(2(m x^2 + n y^2)) + 8 n^2 y^2 cos(2(m x^2 + n y^2))

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