Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função $ z = \sin^{2}(m x^{2} + n y^{2}) $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e regras de derivação como a regra da cadeia. Precisamos encontrar $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $, $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $, $ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} $ e $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ z $ em relação a $ x $. A função é $ z = \sin^{2}(u) $, onde $ u = m x^{2} + n y^{2} $.
Usamos a regra da cadeia: $ \frac{\partial z}{\partial x} = 2 \sin(u) \cdot \cos(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x} $.
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $:
Então:
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica $ 2 \sin(u) \cos(u) = \sin(2u) $:
Passo 3
Agora, vamos derivar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ novamente em relação a $ x $ para encontrar $ \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $.
Temos:
Aplicando a regra do produto:
Derivando $ \sin(2u) $:
Então:
Passo 4
Vamos encontrar a derivada mista $ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} $.
Primeiro, encontramos $ \frac{\partial z}{\partial y} $:
Agora, derivamos isso em relação a $ x $:
Passo 5
Devido à igualdade das derivadas parciais mistas, temos $ \frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 8 m n x y \cos(2u) $.
Passo 6
Finalmente, vamos calcular $ \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $.
Primeiro, derivamos $ \frac{\partial z}{\partial y} = 2 n y \sin(2u) $ em relação a $ y $:
Derivando $ \sin(2u) $:
Então:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: