Se uma caixa retangular sem tampa deve ter um volume fixo V, que dimensões relativas minimizarão a área da superfície?

Passo 1

O problema pede minimizar a área superficial de uma caixa retangular sem tampa de volume fixo V. Isso é um caso clássico de otimização com restrição, usando cálculo de derivadas.

Passo 2

Definimos as variáveis: x e y são as dimensões da base e z é a altura. A área superficial sem tampa é
A(x,y,z)=xy+2xz+2yz
e a restrição de volume é
g(x,y,z)=xyz-V=0 .

Passo 3

Para tratar a restrição, usamos multiplicadores de Lagrange. Construímos
L(x,y,z,lambda)=xy+2xz+2yz+lambda,(xyz-V)
e exigimos
partial Lpartial x=0, partial Lpartial y=0, partial Lpartial z=0

Passo 4

As derivadas parciais geram o sistema
partialx: y+2z+lambda,yz=0, partialy: x+2z+lambda,xz=0, partialz: 2(x+y)+lambda,xy=0

Passo 5

Comparando as duas primeiras equações obtemos
y+2zyz=x+2zxzimplies x=y
Substituindo x=y na terceira equação e usando uma das primeiras, chega-se a
x=2z

Passo 6

Impondo a restrição x^2z=V e substituindo z=x/2 resulta
x^32=Vimplies x=(2V)^1/3, z=x2
Logo, em termos relativos, as proporções são
x:y:z=2:2:1

Resposta

As dimensões relativas que minimizam a área são x=y=2z, ou seja, na proporção x:y:z=2:2:1.

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