Se uma caixa retangular sem tampa deve ter um volume fixo , que dimensões relativas minimizarão a área da superfície?
Passo 1
O problema pede minimizar a área superficial de uma caixa retangular sem tampa de volume fixo . Isso é um caso clássico de otimização com restrição, usando cálculo de derivadas.
Passo 2
Definimos as variáveis: e são as dimensões da base e é a altura. A área superficial sem tampa é
e a restrição de volume é
.
Passo 3
Para tratar a restrição, usamos multiplicadores de Lagrange. Construímos
e exigimos
Passo 4
As derivadas parciais geram o sistema
Passo 5
Comparando as duas primeiras equações obtemos
y+2zyz=x+2zxzimplies x=y
Substituindo x=y na terceira equação e usando uma das primeiras, chega-se a
x=2z
Passo 6
Impondo a restrição x^2z=V e substituindo z=x/2 resulta
x^32=Vimplies x=(2V)^1/3, z=x2
Logo, em termos relativos, as proporções são
x:y:z=2:2:1
Resposta
As dimensões relativas que minimizam a área são x=y=2z, ou seja, na proporção x:y:z=2:2:1.