Encontre as assíntotas verticais e horizontais dos gráficos das funções
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas verticais e horizontais do gráfico da função $ f(x) = \frac{2}{e^{x} - 1} $. Para isso, vamos usar conceitos de limites e analisar o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de certos valores. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são assíntotas. Assíntotas verticais são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca, quando $ x $ se aproxima de certos valores. Já as assíntotas horizontais são linhas que o gráfico se aproxima quando $ x $ vai para $ \infty $ ou $ -\infty $.
Passo 3
Encontrando as Assíntotas Verticais:
As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da fração se aproxima de zero, pois aí a função tende ao infinito. Então, vamos resolver quando $ e^{x} - 1 = 0 $:
Sabemos que $ e^{0} = 1 $, então $ x = 0 $ é o ponto onde o denominador fica zero. Portanto, há uma assíntota vertical em $ x = 0 $.
Passo 4
Encontrando as Assíntotas Horizontais:
Para encontrar as assíntotas horizontais, vamos analisar o comportamento da função quando $ x $ tende a $ \infty $ (positivo infinito) e $ -\infty $ (negativo infinito).
- Quando $ x \to \infty $:
À medida que $ x $ aumenta, $ e^{x} $ cresce muito rápido, tornando $ e^{x} - 1 $ também muito grande. Assim, o valor da fração tende a zero:
Então, há uma assíntota horizontal em $ y = 0 $.
- Quando $ x \to -\infty $:
Quando $ x $ diminui sem limite, $ e^{x} $ se aproxima de zero. Portanto, a expressão no denominador fica perto de $ -1 $:
Então, há outra assíntota horizontal em $ y = -2 $.
Resposta
As assíntotas verticais da função são $ x = 0 $ e as assíntotas horizontais são $ y = 0 $ e $ y = -2 $.