Neste exercício vamos calcular a integral de por duas abordagens (James Gregory e Isaac Barrow), mostrar que as primitivas são equivalentes usando a substituição da tangente do arco metade e, por fim, resolver . Para isso, vamos usar técnicas de multiplicar e dividir o integrando, mudança de variável, frações parciais e integração por partes, além de identidades trigonométricas e fórmulas do arco metade.
Passo 2
Na abordagem de James Gregory, multiplicamos e dividimos o integrando por . Assim,
Fazendo a mudança de variável e usando
o integral reduz-se a
Voltando a , obtemos
Passo 3
Na abordagem de Isaac Barrow, escrevemos e multiplicamos e dividimos por . Assim,
Fazendo , , o integral vira
Decompomos em frações parciais:
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Retornando u = sin x,
integral sec x,dx = 12lnl|1+sin x1-sin xr| + C
Passo 4
Para mostrar que as duas primitivas são equivalentes usamos a substituição da tangente do arco metade t = tan(x/2). Com as fórmulas
sin x = 2t1+t^2, cos x = 1-t^21+t^2,
obtemos
sec x + tan x = 1+sin xcos x = (1+t)^21-t^2 = 1+t1-t,
e
1+sin x1-sin x = l(1+t1-tr)^2
Assim,
ln|sec x + tan x| = 12lnl|1+sin x1-sin xr|,
o que mostra que as duas expressões diferem apenas por uma constante.
Passo 5
Para calcular integral sec^3 x,dx usamos integração por partes. Escrevemos sec^3 x = sec xsec^2 x e tomamos u = sec x, dv = sec^2 x,dx. Então du = sec xtan x,dx e v = tan x. Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
tenho
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - integral tan x,(sec xtan x),dx
Usando tan^2 x = sec^2 x -1,
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - integral sec x(sec^2 x -1),dx = sec xtan x - integral sec^3 x,dx + integral sec x,dx
Reagrupando,
2integral sec^3 x,dx = sec xtan x + ln|sec x + tan x| + C,
de onde finalmente
integral sec^3 x,dx = 12l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r) + C