(a) calcule integral sec x d x usando a abordagem de James Gregory: multiplique e divida o integrando por (sec x+tan x) e faça uma mudança de variável
(b) calcule integral sec x d x utilizando a abordagem de Isaac Barrow: escreva sec x como 1 / cos x, multiplique e divida por cos x, faça uma mudança de variável e decomponha o resultado usando frações parciais
© star mostre que as primitivas encontradas nos itens anteriores são equivalentes. Dica: use a substituição tangente do arco metade.
(d) calcule integral sec ^3 x d x

Passo 1

Neste exercício vamos calcular a integral de sec x por duas abordagens (James Gregory e Isaac Barrow), mostrar que as primitivas são equivalentes usando a substituição da tangente do arco metade e, por fim, resolver integral sec^3 x,dx. Para isso, vamos usar técnicas de multiplicar e dividir o integrando, mudança de variável, frações parciais e integração por partes, além de identidades trigonométricas e fórmulas do arco metade.

Passo 2

Na abordagem de James Gregory, multiplicamos e dividimos o integrando por sec x + tan x. Assim,
integral sec x , dx = integral sec x,(sec x + tan x)sec x + tan x, dx
Fazendo a mudança de variável u = sec x + tan x e usando
du = (sec xtan x + sec^2 x),dx = sec x,(tan x + sec x),dx,
o integral reduz-se a
integral duu = ln|u| + C
Voltando a x, obtemos
integral sec x,dx = ln|sec x + tan x| + C

Passo 3

Na abordagem de Isaac Barrow, escrevemos sec x = 1/cos x e multiplicamos e dividimos por cos x. Assim,
integral sec x,dx = integral 1cos x,dx = integral cos xcos^2 x,dx = integral cos x1 - sin^2 x,dx
Fazendo u = sin x, du = cos x,dx, o integral vira
integral du1 - u^2
Decompomos em frações parciais:
11-u^2 = 12l(11-u + 11+ur)
Logo
integral du1-u^2 = 12lnl|1+u1-ur| + C
Retornando u = sin x,
integral sec x,dx = 12lnl|1+sin x1-sin xr| + C

Passo 4

Para mostrar que as duas primitivas são equivalentes usamos a substituição da tangente do arco metade t = tan(x/2). Com as fórmulas
sin x = 2t1+t^2, cos x = 1-t^21+t^2,
obtemos
sec x + tan x = 1+sin xcos x = (1+t)^21-t^2 = 1+t1-t,
e
1+sin x1-sin x = l(1+t1-tr)^2
Assim,
ln|sec x + tan x| = 12lnl|1+sin x1-sin xr|,
o que mostra que as duas expressões diferem apenas por uma constante.

Passo 5

Para calcular integral sec^3 x,dx usamos integração por partes. Escrevemos sec^3 x = sec xsec^2 x e tomamos u = sec x, dv = sec^2 x,dx. Então du = sec xtan x,dx e v = tan x. Pela fórmula
integral u,dv = uv - integral v,du
tenho
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - integral tan x,(sec xtan x),dx
Usando tan^2 x = sec^2 x -1,
integral sec^3 x,dx = sec xtan x - integral sec x(sec^2 x -1),dx = sec xtan x - integral sec^3 x,dx + integral sec x,dx
Reagrupando,
2integral sec^3 x,dx = sec xtan x + ln|sec x + tan x| + C,
de onde finalmente
integral sec^3 x,dx = 12l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r) + C

Resposta

(a) integral sec x,dx = ln|sec x + tan x| + C; (b) integral sec x,dx = tfrac12lnl|tfrac1+sin x1-sin xr| + C; © as duas primitivas diferem apenas por constante, pois ln|sec x+tan x| = tfrac12lnl|tfrac1+sin x1-sin xr|; (d) integral sec^3 x,dx = tfrac12l(sec xtan x + ln|sec x + tan x|r) + C.

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