- Uma caixa retangular sem tampa deverá ter
de área de superficie. Determine as dimensões que the assegurarão um volume máximo.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa retangular aberta (sem tampa) com área de superfície fixa em
,m
, de modo que seu volume seja máximo. Este é um problema de otimização com restrição, que podemos resolver eliminando uma variável via a condição da área ou usando Lagrange.
Passo 2
Definimos as dimensões da base como
(comprimento) e
(largura) e a altura como
.
A área de superfície sem tampa é
A área de superfície sem tampa é
O volume é
Da restrição
isolamos
:
Substituindo em
obtemos
Passo 3
Pela simetria do problema (base retangular com mesmo papel para
e
), o volume é maximizado quando
. Definimos então
A restrição vira
e o volume
Passo 4
Isolando
em função de
:
Logo
Para máximo, calculamos
e igualamos a zero:
Passo 5
Com
, voltamos em
Portanto, as dimensões que maximizam o volume são
,
e
.
e
Resposta
As dimensões da caixa que asseguram volume máximo são