1. Uma caixa retangular sem tampa deverá ter 32 m^2 de área de superficie. Determine as dimensões que the assegurarão um volume máximo.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa retangular aberta (sem tampa) com área de superfície fixa em 32,m ^2, de modo que seu volume seja máximo. Este é um problema de otimização com restrição, que podemos resolver eliminando uma variável via a condição da área ou usando Lagrange.

Passo 2

Definimos as dimensões da base como ell (comprimento) e w (largura) e a altura como h.
A área de superfície sem tampa é
A = ell w ;+; 2ell h ;+; 2w h = 32
O volume é
V = ell w h
Da restrição A=32 isolamos h:
ell w + 2h(ell + w) = 32 Longrightarrow h = 32 - ell w2(ell + w)
Substituindo em V obtemos
V(ell,w) = ell w;h = ell w ,32 - ell w2(ell + w)

Passo 3

Pela simetria do problema (base retangular com mesmo papel para ell e w), o volume é maximizado quando ell=w. Definimos então
ell = w = x
A restrição vira
x^2 + 4x,h = 32,
e o volume
V = x^2,h

Passo 4

Isolando h em função de x:
h = 32 - x^24x
Logo
V(x) = x^2 32 - x^24x = 32x - x^34
Para máximo, calculamos
dVdx = 32 - 3x^24
e igualamos a zero:
32 - 3x^2 = 0 Longrightarrow x^2 = 323 Longrightarrow x = raiz323 = 4raiz63

Passo 5

Com x=tfrac4raiz63, voltamos em
h = 32 - x^24x = 32 - tfrac3234x = tfrac6434x = 163x = 163cdot tfrac4raiz63 = 4raiz6 = 2raiz63
Portanto, as dimensões que maximizam o volume são
ell = tfrac4raiz63,m,
w = tfrac4raiz63,m
e
h = tfrac2raiz63,m.

Resposta

As dimensões da caixa que asseguram volume máximo são
ell = 4raiz63,m, w = 4raiz63,m, h = 2raiz63,m

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