Uma caixa retangular tem volume 20 m^3. O material usado nas laterais custa R por metro quadrado, o material usado o fundo custa por metro quadrado, o material usado o fundo custa por metro quadrado e o material usado na tampa custa 2,00 por metro quadrado. Quais as dimensões da caixa para que o custo de confeção seja mínimo?

Passo 1

Temos uma caixa retangular de dimensões x, y e z, com volume fixo de 20 m³ e materiais diferentes para laterais (R$ 1,00/m²), fundo (R$ 2,00/m²) e tampa (R$ 3,00/m²). O conteúdo é otimização de função custo sujeita a uma restrição de volume, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos as variáveis x, y como as dimensões da base e z como a altura. O volume deve obedecer
x y z = 20
e o custo total C, somando laterais, fundo e tampa, vale
C = 1cdot(2xz+2yz) + 2cdot(xy) + 3cdot(xy) = 2xz + 2yz + 5xy

Passo 3

Para otimizar C sujeita a xyz=20, montamos o lagrangiano
L = 2xz + 2yz + 5xy + lambda(20 - xyz)
Explicando: o termo lambda(20-xyz) impõe a restrição de volume.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Lpartial x = 2z + 5y - lambda yz = 0,
partial Lpartial y = 2z + 5x - lambda xz = 0,
partial Lpartial z = 2x + 2y - lambda xy = 0
Igualando as expressões de lambda: das duas primeiras vem x=y e, comparando a primeira com a terceira, obtemos 5y=2z.

Passo 5

Com x=y e 5y=2z, substituímos na restrição de volume:
y cdot y cdot 52y = 20 implies 52y^3 = 20 implies y^3 = 8 implies y = 2
Logo x=2 m e z=\frac{5}{2}·2=5 m.

Passo 6

Concluindo, as dimensões ótimas são x=2 m, y=2 m e z=5 m, minimizando o custo de confecção.

Resposta

x = 2 m, y = 2 m, z = 5 m

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