Uma caixa retangular tem volume
. O material usado nas laterais custa
por metro quadrado, o material usado o fundo custa
por metro quadrado e o material usado na tampa custa
por metro quadrado. Quais as dimensões da caixa para que o custo de confeção seja mínimo?
Passo 1
Temos uma caixa retangular de dimensões x, y e z, com volume fixo de 20 m³ e materiais diferentes para laterais (R$ 1,00/m²), fundo (R$ 2,00/m²) e tampa (R$ 3,00/m²). O conteúdo é otimização de função custo sujeita a uma restrição de volume, e vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos as variáveis x, y como as dimensões da base e z como a altura. O volume deve obedecer
e o custo total C, somando laterais, fundo e tampa, vale
Passo 3
Para otimizar C sujeita a xyz=20, montamos o lagrangiano
Explicando: o termo
impõe a restrição de volume.
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Igualando as expressões de
: das duas primeiras vem x=y e, comparando a primeira com a terceira, obtemos 5y=2z.
Passo 5
Com x=y e 5y=2z, substituímos na restrição de volume:
Logo x=2 m e z=\frac{5}{2}·2=5 m.
Passo 6
Concluindo, as dimensões ótimas são x=2 m, y=2 m e z=5 m, minimizando o custo de confecção.
Resposta
x = 2 m, y = 2 m, z = 5 m