Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem tampa que possua uma área total de 300 cm^2 e que comporte o máximo possível de volume.

Passo 1

O problema pede achar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa, com área total fixa de 300 cm², de modo que o volume seja máximo. Esse é um problema de otimização com restrição, que vamos resolver usando multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Definimos as variáveis: x e y são as dimensões da base e z é a altura. O volume é
V = x y z
e a restrição de área (sem tampa) é
A = x y + 2 x z + 2 y z = 300

Passo 3

Construímos a função de Lagrange:
,L(x,y,z,lambda) = x y z - lambda,(x y + 2 x z + 2 y z - 300)
Derivando em relação a x, y e z e igualando a zero, temos:
partial Lpartial x: y z - lambda,(y+2z)=0, partial Lpartial y: x z - lambda,(x+2z)=0, partial Lpartial z: x y - lambda,(2x+2y)=0

Passo 4

Das três equações acima, dividindo termos, percebemos que elas se satisfazem quando x = y (simetria da base). Substituindo x = y na restrição:
x^2 + 2x z + 2 x z = x^2 + 4x z = 300
Logo
z = 300 - x^24x

Passo 5

Agora expressamos o volume em função de x só:
V(x) = x^2 cdot z = x^2 cdot 300 - x^24x = x(300 - x^2)4
Derivando e igualando a zero:
V'(x) = 300 - 3x^24 = 0 Rightarrow x = raiz3003 = 10,cm
Então y = 10 cm e
z = 300 - 10^24cdot10 = 20040 = 5,cm

Passo 6

Concluímos que a caixa de volume máximo tem base quadrada de 10 cm × 10 cm e altura de 5 cm.

Resposta

As dimensões são 10 cm por 10 cm na base e 5 cm de altura.

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