Determine as dimensões relativas de uma caixa retangular sem tampa que possua uma área total de
e que comporte o máximo possível de volume.
Passo 1
O problema pede achar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa, com área total fixa de 300 cm², de modo que o volume seja máximo. Esse é um problema de otimização com restrição, que vamos resolver usando multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Definimos as variáveis: x e y são as dimensões da base e z é a altura. O volume é
e a restrição de área (sem tampa) é
Passo 3
Construímos a função de Lagrange:
Derivando em relação a x, y e z e igualando a zero, temos:
Passo 4
Das três equações acima, dividindo termos, percebemos que elas se satisfazem quando x = y (simetria da base). Substituindo x = y na restrição:
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Passo 5
Agora expressamos o volume em função de x só:
Derivando e igualando a zero:
Então y = 10 cm e
Passo 6
Concluímos que a caixa de volume máximo tem base quadrada de 10 cm × 10 cm e altura de 5 cm.
Resposta
As dimensões são 10 cm por 10 cm na base e 5 cm de altura.