Determine a derivada das funções dada.
c) f(x)=(2 x^4-7 x^3)^e

Passo 1

A questão pede para calcular a derivada da função f(x) = (2x^4 - 7x^3)^e. O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada a uma função do tipo u(x)^a onde o expoente a é uma constante real (no caso a = e).

Passo 2

Definimos a função interna u(x) para facilitar a aplicação da regra da cadeia. Assim, seja
$$
u(x) = 2x^4 - 7x^3 u(x) = 2x^4 - 7x^3
f(x) = [
u(x)]^e.$$

Passo 3

Calculamos a derivada de nu(x):
$$
\nu’(x) = \frac{d}{dx}(2x^4) - \frac{d}{dx}(7x^3) = 8x^3 - 21x^2.$$

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x) = [nu(x)]^e. A derivada de u(x)^e é
$$
\frac{d}{dx}[\nu(x)]^e = e,[\nu(x)]^{e-1} \cdot \nu’(x). ddx[nu(x)]^e = e,[nu(x)]^e-1 cdot nu'(x)
f’(x) = e,(2x^4 - 7x3){e-1},(8x^3 - 21x^2).$$

Resposta

f'(x) = e,(2x^4 - 7x^3)^e-1,(8x^3 - 21x^2).

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