6 Uma caixa retangular, com um volume de deve ser construída com três materiais diferentes, a tampa superior com um tipo de material cujo custo é de 120,00 R $40,00 R $ 10,00$ o metro quadrado. Encontre as dimensões da caixa que tem o menor custo.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa retangular de volume 8 m^3 cujas faces têm custos diferentes: a tampa superior custa R$120 por metro quadrado, a tampa inferior R$40 por metro quadrado e as quatro laterais R$10 por metro quadrado. Vamos chamar de x e y as dimensões da base e de z a altura. Usaremos o volume para eliminar uma variável e então minimizaremos o custo via derivadas.

Passo 2

Escrevendo o volume e o custo total em função de x,y,z:
xyz = 8
áreas e custos:
– tampa superior: área xy, custo 120,xy
– tampa inferior: área xy, custo 40,xy
– laterais: duas faces xtimes z e duas faces ytimes z, cada metro quadrado a 10, logo custo total 10cdot2xz + 10cdot2yz = 20xz + 20yz.
Assim, o custo total é
C(x,y,z) = 120,xy + 40,xy + 20,xz + 20,yz = 160,xy + 20,xz + 20,yz

Passo 3

Eliminamos z usando o volume:
z = 8xy
Substituindo em C:
C(x,y) = 160,xy + 20,x8xy + 20,y8xy = 160,xy + 160y + 160x

Passo 4

Para minimizar, igualamos a zero as derivadas parciais:
partial Cpartial x = 160,y - 160x^2 = 0 Longrightarrow y = 1x^2,
partial Cpartial y = 160,x - 160y^2 = 0 Longrightarrow x = 1y^2

Passo 5

Do sistema
y = 1x^2, x = 1y^2,
substituindo a primeira na segunda obtém-se x = x^4, de onde x^3=1 e x=1. Logo y = 1/x^2 = 1. Finalmente
z = 8xy = 81cdot1 = 8

Resposta

As dimensões que minimizam o custo são base 1 mtimes1 m e altura 8 m.

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