6 Uma caixa retangular, com um volume de
deve ser construída com três materiais diferentes, a tampa superior com um tipo de material cujo custo é de
120,00
R $40,00
R $ 10,00$ o metro quadrado. Encontre as dimensões da caixa que tem o menor custo.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa retangular de volume
cujas faces têm custos diferentes: a tampa superior custa
por metro quadrado, a tampa inferior
por metro quadrado e as quatro laterais
por metro quadrado. Vamos chamar de
e
as dimensões da base e de
a altura. Usaremos o volume para eliminar uma variável e então minimizaremos o custo via derivadas.
Passo 2
Escrevendo o volume e o custo total em função de
:
áreas e custos:
– tampa superior: área , custo
– tampa inferior: área , custo
– laterais: duas faces e duas faces
, cada metro quadrado a
, logo custo total
.
Assim, o custo total é
– tampa superior: área
– tampa inferior: área
– laterais: duas faces
Assim, o custo total é
Passo 3
Eliminamos
usando o volume:
Substituindo em
:
Passo 4
Para minimizar, igualamos a zero as derivadas parciais:
Passo 5
Do sistema
substituindo a primeira na segunda obtém-se
, de onde
e
. Logo
. Finalmente
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são base
e altura
.