Exercício 1. (Apostol seção 12.6 exercício 2, 3,
)
Calcule a área da superfície
que fica entre
e
.
Calcule a área da superfície
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície dada por
para
,
.
Este é um caso de área de superfície de duas “folhas” . Vamos usar a fórmula de área de gráfico
Este é um caso de área de superfície de duas “folhas”
para a “folha” superior
e depois dobrar o resultado (simetria).
Passo 2
Na folha superior temos
Então as derivadas parciais são
Passo 3
O elemento de área vale
Como há duas folhas (
e
), a área total é
Passo 4
Calculemos primeiro a integral em
. Note que
Logo
Passo 5
Agora a integral em
:
Simplificando cada termo e integrando de
a
dá
Resposta
A área da superfície é
.