Exercício 1. (Apostol seção 12.6 exercício 2, 3, 4,7,8 )
Calcule a área da superfície z^2=2 x y que fica entre 0 <= x <= 2 e 0 <= y <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície dada por
z^2=2xy
para ,0<= x<=2, 0<= y<=1.
Este é um caso de área de superfície de duas “folhas” z=pmraiz2xy. Vamos usar a fórmula de área de gráfico
A=integral duplaRraiz1+zx^2+zy^2;dA
para a “folha” superior z=raiz2xy e depois dobrar o resultado (simetria).

Passo 2

Na folha superior temos
z(x,y)=raiz2xy
Então as derivadas parciais são
zx=partialpartial xraiz2xy =yraiz2xy, zy=partialpartial yraiz2xy =xraiz2xy

Passo 3

O elemento de área vale
raiz1+zx^2+zy^2 =raiz1+y^22xy+x^22xy =raiz1+y2x+x2y =x+yraiz2xy
Como há duas folhas ( z>=0 e z<=0), a área total é
A =2integral duplaRx+yraiz2xy;dA =2integral0^2integral0^1x+yraiz2xy;dy,dx

Passo 4

Calculemos primeiro a integral em y. Note que
x+yraiz2xy =1raiz2xl(xraizy+raizyr)
Logo
integral0^1x+yraiz2xy,dy =1raiz2xl[ xintegral0^1y^-tfrac12dy +integral0^1y^tfrac12dy r] =1raiz2xl[2x+tfrac23r] =2x+tfrac23raiz2x

Passo 5

Agora a integral em x:
A =2integral0^22x+tfrac23raiz2x,dx =2integral0^2l(2xraiz2x+tfrac23raiz2xr),dx
Simplificando cada termo e integrando de 0 a 2
A=163+83=8

Resposta

A área da superfície é 8.

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