Problema 53 Determine o valor de m na função de variável real y=3 m x^2-2 x+4 para que o ponto de máximo seja 9.

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática
y = 3m x^2 - 2x + 4
e quer o valor de m para que o valor máximo de y seja 9.
Aqui o conteúdo é vértice de parábola: para a x^2 + b x + c, o ponto extremo ocorre em x=-b/(2a) e vale ymax/min.

Passo 2

Para que haja máximo, o coeficiente de x^2 deve ser negativo:
a = 3m < 0 Longrightarrow m < 0

Passo 3

O x do vértice é
xv = -b2a = --22cdot(3m) = 26m = 13m

Passo 4

Substituindo xv em y obtemos o valor extremo:
yv = 3ml(tfrac13mr)^2 -2l(tfrac13mr) +4
Calculemos termo a termo:
3mcdot19m^2=13m, -2cdot13m=-23m,
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yv = 13m-23m+4 = -13m+4

Passo 5

Queremos yv=9. Então
-13m+4 = 9 Longrightarrow -13m = 5 Longrightarrow 13m = -5 Longrightarrow 3m = -15 Longrightarrow m = -115

Resposta

m = -115

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