5 Encontre o volume máximo de uma lata no formato de um cilindro circular reto tal que a a soma de sua altura e sua circunferência é 120 cm .

Passo 1

O enunciado pede o volume máximo de uma lata cilíndrica de raio r e altura h sob a restrição de que a soma da altura e da circunferência da base vale 120,cm.
Conteúdo: otimização de função real (cálculo de derivada) em um único variável.

Passo 2

A circunferência da base é 2pi r. A condição h + 2pi r = 120 nos permite isolar
h = 120 - 2pi r

Passo 3

A função volume é
V(r) = pi r^2 h = pi r^2l(120 - 2pi rr)

Passo 4

Para achar o extremo, derivamos V(r) em relação a r e igualamos a zero:
V'(r) = pil(2r(120 - 2pi r) + r^2(-2pi)r) = pil(240r -6pi r^2r)
V'(r)=0 Longrightarrow 240r -6pi r^2 =0 Longrightarrow rl(240 -6pi rr)=0
Descartando r=0, vem
r = 2406pi = 40pi,cm

Passo 5

Verificamos que é máximo pelo segundo derivar:
V''(r) = pil(240 -12pi rr),
em r=40/pi V''<0.
Aí, a altura é
h = 120 -2pi40pi = 120 -80 = 40,cm

Passo 6

O volume máximo é
Vmax = pil(40pir)^2cdot 40 = 64000pi,cm^3

Resposta

Vmax = 64000pi,cm^3, r = 40pi,cm, h = 40,cm

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