Seja f a função definida para x>0 e y>0 e dada por f(x, y)=x y. Considere o triângulo \mathcal{T} de vértices A=(2,1), B=(4,1) e C=(2,3).
Determine, se houver, o valor mínimo de f em \mathcal{T} eo(s) ponto(s) em que o valor mínimo ocorre.

Passo 1

O enunciado dá a função f definida para x>0 e y>0 por
f(x,y)=x\,y
e o triângulo \mathcal{T} com vértices A=(2,1), B=(4,1) e C=(2,3).
O que se pede: determinar, se houver, o valor mínimo de f em \mathcal{T} e o(s) ponto(s) de \mathcal{T} onde esse valor mínimo ocorre.
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos três vértices do triângulo e a expressão explícita de f(x,y).

Passo 2

Primeira observação importante (existência do mínimo): o conjunto \mathcal{T} é um triângulo fechado e limitado (é compacto) e todos os seus pontos têm x>0 e y>0. A função f(x,y)=x\,y é contínua (produto de funções contínuas). Pelo Teorema do Valor Extremo, uma função contínua em um conjunto compacto atinge mínimo e máximo no conjunto. Logo existe pelo menos um ponto em \mathcal{T} onde f atinge seu valor mínimo.

Passo 3

Procuramos pontos críticos no interior de \mathcal{T}. Para isso calculamos o gradiente de f. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)=(y,x).
Um ponto interno onde f poderia ter um extremo interior satisfaria \nabla f(x,y)= (0,0), ou seja y=0 e x=0. Mas esses pontos não pertencem ao interior de \mathcal{T} porque no triângulo dado x\ge2>0 e y\ge1>0. Portanto não há pontos críticos no interior; assim qualquer mínimo ocorre na fronteira do triângulo.

Passo 4

Descrição das arestas (fronteira) do triângulo \mathcal{T}:
  • Aresta AB: segmento entre A=(2,1) e B=(4,1). É a reta y=1 com x\in[2,4].
  • Aresta AC: segmento entre A=(2,1) e C=(2,3). É a reta x=2 com y\in[1,3].
  • Aresta BC: segmento entre B=(4,1) e C=(2,3). Observando os vértices, x+y=5 nessa reta, com x\in[2,4] e y=5-x.
Vamos estudar f restrita a cada aresta (reduzimos o problema a funções de uma variável).

Passo 5

Analisando a aresta AB (onde y=1 e x\in[2,4]):
A restrição de f é
g_{AB}(x)=f(x,1)=x\quad\text{para }x\in[2,4].
Isto é uma função linear crescente em x. O mínimo em [2,4] ocorre no menor x, que é x=2. Portanto sobre AB o menor valor é
f(2,1)=2\cdot 1=2,
atingido no ponto A=(2,1).

Passo 6

Analisando a aresta AC (onde x=2 e y\in[1,3]):
A restrição de f é
g_{AC}(y)=f(2,y)=2y\quad\text{para }y\in[1,3].
Essa é uma função linear crescente em y. O mínimo em [1,3] ocorre em y=1. Portanto sobre AC o menor valor é
f(2,1)=2,
atingido novamente no ponto A=(2,1).

Passo 7

Analisando a aresta BC (onde y=5-x e x\in[2,4]):
A restrição de f é uma função de x:
g_{BC}(x)=f(x,5-x)=x(5-x)=5x-x^{2}\quad\text{para }x\in[2,4].
Isto é uma parábola com coeficiente de x^{2} igual a -1, logo abre para baixo (é côncava), portanto tem um máximo interior e os mínimos no intervalo ocorrem nos extremos x=2 ou x=4. Para confirmar, derivamos:
g'_{BC}(x)=5-2x,
que se anula em x=\tfrac{5}{2}=2{,}5 (máximo). Avaliando os extremos:
g_{BC}(2)=2\cdot 3=6\quad\text{(no ponto }(2,3)=C),
g_{BC}(4)=4\cdot 1=4\quad\text{(no ponto }(4,1)=B).
Portanto sobre BC o menor valor é 4, ocorrido em B=(4,1).

Passo 8

Comparando os mínimos obtidos nas arestas:
  • sobre AB: mínimo 2 em A,
  • sobre AC: mínimo 2 em A,
  • sobre BC: mínimo 4 em B.
O menor valor global entre estes é 2, que ocorre em A=(2,1). Não há pontos interiores com valor menor (não há pontos críticos interiores), logo este é o mínimo do problema em todo \mathcal{T}.

Resposta

Valor mínimo: 2
Ocorre em: (2,1)

Exercícios relacionados