Seja
a função definida para
e
e dada por
. Considere o triângulo
de vértices
e
.
Determine, se houver, o valor mínimo de
em
eo(s) ponto(s) em que o valor mínimo ocorre.
Determine, se houver, o valor mínimo de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida para
e
por
e o triângulo
com vértices
,
e
.
O que se pede: determinar, se houver, o valor mínimo de em
e o(s) ponto(s) de
onde esse valor mínimo ocorre.
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos três vértices do triângulo e a expressão explícita de .
O que se pede: determinar, se houver, o valor mínimo de
Informações relevantes dadas: as coordenadas dos três vértices do triângulo e a expressão explícita de
Passo 2
Primeira observação importante (existência do mínimo): o conjunto
é um triângulo fechado e limitado (é compacto) e todos os seus pontos têm
e
. A função
é contínua (produto de funções contínuas). Pelo Teorema do Valor Extremo, uma função contínua em um conjunto compacto atinge mínimo e máximo no conjunto. Logo existe pelo menos um ponto em
onde
atinge seu valor mínimo.
Passo 3
Procuramos pontos críticos no interior de
. Para isso calculamos o gradiente de
. O gradiente é o vetor das derivadas parciais:
Um ponto interno onde
poderia ter um extremo interior satisfaria
, ou seja
e
. Mas esses pontos não pertencem ao interior de
porque no triângulo dado
e
. Portanto não há pontos críticos no interior; assim qualquer mínimo ocorre na fronteira do triângulo.
Passo 4
Descrição das arestas (fronteira) do triângulo
:
- Aresta
: segmento entre e . É a reta com . - Aresta
: segmento entre e . É a reta com . - Aresta
: segmento entre e . Observando os vértices, nessa reta, com e .
Vamos estudar
restrita a cada aresta (reduzimos o problema a funções de uma variável).
Passo 5
Analisando a aresta
(onde
e
):
A restrição de é
A restrição de
Isto é uma função linear crescente em
. O mínimo em
ocorre no menor
, que é
. Portanto sobre
o menor valor é
atingido no ponto
.
Passo 6
Analisando a aresta
(onde
e
):
A restrição de é
A restrição de
Essa é uma função linear crescente em
. O mínimo em
ocorre em
. Portanto sobre
o menor valor é
atingido novamente no ponto
.
Passo 7
Analisando a aresta
(onde
e
):
A restrição de é uma função de
:
A restrição de
Isto é uma parábola com coeficiente de
igual a
, logo abre para baixo (é côncava), portanto tem um máximo interior e os mínimos no intervalo ocorrem nos extremos
ou
. Para confirmar, derivamos:
que se anula em
(máximo). Avaliando os extremos:
Portanto sobre
o menor valor é
, ocorrido em
.
Passo 8
Comparando os mínimos obtidos nas arestas:
- sobre
: mínimo em , - sobre
: mínimo em , - sobre
: mínimo em .
O menor valor global entre estes é
, que ocorre em
. Não há pontos interiores com valor menor (não há pontos críticos interiores), logo este é o mínimo do problema em todo
.
Resposta
Valor mínimo:
Ocorre em:
Ocorre em: