Calcule as seguintes integrais indefinidas:
\int \frac{d x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \dfrac{1}{x^{2}}.
  • Não foi indicado intervalo, portanto buscamos uma antiderivada válida em cada intervalo onde a função está definida (ou seja, para x\neq 0).
    O que devemos obter: uma fórmula para a família de primitivais (antiderivadas) da função, com a constante de integração.

Passo 2

Ferramenta que vamos usar: a regra da potência para integrais. Ela diz que, para um número real n com n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,
onde:
  • x é a variável de integração;
  • n é o expoente;
  • C é a constante de integração (porque integrais indefinidas têm uma família de primitivais).
    Explicação rápida por que a fórmula vale: derivando o lado direito com a regra da potência das derivadas obtém-se x^{n}, então é de fato uma primitiva.

Passo 3

Reescrevo o integrando como potência:
\frac{1}{x^{2}}=x^{-2}.
Aqui n=-2, que satisfaz n\neq -1, portanto a regra da potência se aplica. Substituindo n=-2 na fórmula,
\int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-2+1}}{-2+1}+C=\frac{x^{-1}}{-1}+C.

Passo 4

Simplificando \dfrac{x^{-1}}{-1} obtemos
\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
Portanto uma primitiva é -\dfrac{1}{x}+C. Lembrando que a função original e sua primitiva estão definidas apenas para x\neq 0; em termos de antiderivadas, pode-se considerar constantes diferentes nas duas componentes do domínio ( x>0 e x<0), mas a forma funcional é a mesma.

Passo 5

Verificação rápida: derivando a primitiva encontrada para checar,
\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\left(-x^{-1}\right)=-(-1)x^{-2}=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}},
que é exatamente o integrando. Pronto: está confirmado.

Passo 6

Observação útil para a prova (motivação leve): quando o expoente for -1 a regra da potência não vale e a primitiva é diferente: \int \dfrac{dx}{x}=\ln|x|+C. No nosso caso o expoente foi -2, então usamos a regra da potência normalmente.

Resposta

-\dfrac{1}{x}+C

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