Uma caixa com tampa, em formato de paralelepípedo de base quadrada, deve ter volume 1000 cm^3. Determine a área total desta caixa em função da medida ell de cada aresta da base.

Passo 1

A questão pede a área total de uma caixa em formato de paralelepípedo com base quadrada de lado ell e volume fixo de 1000 cm³. Vamos trabalhar com o conteúdo de modelagem de funções em sólidos: usar a condição de volume para expressar a altura em função de ell e, em seguida, calcular a área total (base, tampa e faces laterais).

Passo 2

Pelo volume da caixa, temos a relação
V = ell^2 ;h = 1000
Isolando a altura h:
h = 1000ell^2

Passo 3

A área total A(ell) é a soma da área da base, da tampa e das quatro faces laterais. A base e a tampa juntas têm área 2ell^2 e cada face lateral tem área ell times h, totalizando quatro delas. Logo:
A(ell) = 2ell^2 + 4ell,h

Passo 4

Substituindo h = 1000ell^2 na expressão de A(ell):
A(ell) = 2ell^2 + 4ell(1000ell^2) = 2ell^2 + 4000ell

Resposta

A(\ell) = 2\ell^2 + \dfrac{4000}{\ell}

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