Uma caixa sem tampa será construida recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho que mede
. e dobrado-se os lados para cima. Que tamanho quadrados das bordas devem ter para que a caixa tenha a capacidade máxima? (2 pontos)
Passo 1
O enunciado pede para construir uma caixa sem tampa a partir de uma chapa quadrada de estanho de
cortando-se quadrados congruentes de lado
em cada canto e dobrando-se as abas. O objetivo é achar o valor de
que maximiza o volume da caixa. Para isso, vamos usar cálculo de funções e otimização via derivada.
Passo 2
Vamos modelar o volume
em função de
. Após o corte, a base da caixa terá dimensões
e altura
. Logo,
O domínio natural é
pois para
ou
o volume é zero.
Passo 3
Calculamos a derivada de
para encontrar os pontos críticos:
Fatorando temos
Os zeros de
são dados por
Passo 4
No intervalo
, o único candidato interno é
. Nos extremos
e
o volume vai a zero. Logo, por análise de sinal de
(ou avaliando
nesses pontos),
é o ponto que maximiza o volume.
Resposta
O lado dos quadrados a serem recortados deve ter comprimento
.