Uma caixa sem tampa será construida recortando-se pequenos quadrados congruentes dos cantos de uma folha de estanho que mede 18 \times 18 \mathrm{~cm}. e dobrado-se os lados para cima. Que tamanho quadrados das bordas devem ter para que a caixa tenha a capacidade máxima? (2 pontos)

Passo 1

O enunciado pede para construir uma caixa sem tampa a partir de uma chapa quadrada de estanho de 18\times18\\ \mathrm{cm} cortando-se quadrados congruentes de lado x em cada canto e dobrando-se as abas. O objetivo é achar o valor de x que maximiza o volume da caixa. Para isso, vamos usar cálculo de funções e otimização via derivada.

Passo 2

Vamos modelar o volume V em função de x. Após o corte, a base da caixa terá dimensões (18-2x)\times(18-2x) e altura x. Logo,
V(x)=x\,(18-2x)^{2}.
O domínio natural é
0 < x < 9,
pois para x=0 ou x=9 o volume é zero.

Passo 3

Calculamos a derivada de V(x) para encontrar os pontos críticos:
V(x)=x\,(18-2x)^{2} \quad\Longrightarrow\quad V'(x)=(18-2x)^{2} + x\cdot 2(18-2x)\,(-2).
Fatorando temos
V'(x)=(18-2x)\bigl[(18-2x)-4x\bigr] =(18-2x)(18-6x).
Os zeros de V'(x) são dados por
18-2x=0\implies x=9, \quad 18-6x=0\implies x=3.

Passo 4

No intervalo (0,9), o único candidato interno é x=3. Nos extremos x\to0 e x\to9 o volume vai a zero. Logo, por análise de sinal de V'(x) (ou avaliando V nesses pontos), x=3 é o ponto que maximiza o volume.

Resposta

O lado dos quadrados a serem recortados deve ter comprimento 3\\ \mathrm{cm}.

Exercícios relacionados