Questão 6

Uma vitamina deve ser tomada por dez dias em doses diárias, as quais formam uma progressão geométrica crescente. Se a primeira dose é de 2 miligramas e a segunda de 5 miligramas, podemos afirmar que:
a) A quarta dose será de 11 miligramas.
b) A terceira dose será de 12,5 miligramas.
c) A razão dessa progressão é igual a 3.
d) A razão dessa progressão é igual a 2 5
e) Nesse tratamento, a pessoa consumirá um total de 155 miligramas de vitamina.

Passo 1

O enunciado diz que as doses diárias formam uma progressão geométrica crescente de 10 termos, com primeira dose \,a_{1}=2 mg e segunda dose \,a_{2}=5 mg. Pergunta-se qual das afirmações (a)–(e) é verdadeira. Para resolver vamos:
  1. Determinar a razão r da PG.
  2. Calcular a_{3} e a_{4}.
  3. Verificar qual afirmação bate com esses resultados.

Passo 2

A razão de uma PG vem de
r = \frac{a_{2}}{a_{1}} = \frac{5}{2} = 2{,}5.

Passo 3

O termo geral é \,a_{n} = a_{1}\,r^{\,n-1}. Assim:
a_{3} = 2 \times \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{2} = 2 \times \frac{25}{4} = 12{,}5\text{ mg},
a_{4} = 2 \times \Bigl(\frac{5}{2}\Bigr)^{3} = 2 \times \frac{125}{8} = 31{,}25\text{ mg}.

Passo 4

Comparando com as alternativas:
  • (a) diz que a quarta dose seria 11 mg, mas encontramos 31{,}25 mg.
  • (b) diz que a terceira dose é 12,5 mg, e isso confere com a_{3}=12{,}5.
  • (c) diz r=3, errado.
  • (d) diz r=2{,}5, que também está certo, mas então haveriam duas afirmações verdadeiras, o que contradiz o enunciado de exatamente uma resposta correta.
  • (e) o consumo total em 10 dias seria
S_{10} = 2\;\frac{(2{,}5)^{10}-1}{2{,}5-1}\approx12714{,}32\text{ mg}\neq155\text{ mg}.

Passo 5

A única afirmação que bate sem gerar ambiguidade é a (b).

Resposta

(b) A terceira dose será de 12,5 miligramas.

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