Calcule as seguintes integrais:
\int \frac{d x}{\left(x^{2}+1\right)(x+1)}

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{dx}{(x^2+1)(x+1)}.
O conteúdo é decomposição em frações parciais de uma razão racional, seguida de integração termo a termo.

Passo 2

Assumimos a forma
\frac{1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{Ax+B}{x^2+1} + \frac{C}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x^2+1)(x+1), vem
1 = (Ax+B)(x+1) + C(x^2+1).
Expandindo,
1 = (A+C)x^2 + (A+B)x + (B+C).
Igualando coeficientes de x^2, x e termo constante, obtemos o sistema
\begin{cases} A + C = 0,\\\ A + B = 0,\\\ B + C = 1. \end{cases}
Resolvendo, acham-se
A = -\tfrac12,\quad B = \tfrac12,\quad C = \tfrac12.

Passo 3

Substituindo esses valores na decomposição,
\frac{1}{(x^2+1)(x+1)} = \frac{-\tfrac12\,x + \tfrac12}{x^2+1} + \frac{\tfrac12}{x+1}.
Logo
\int \frac{dx}{(x^2+1)(x+1)} = -\tfrac12 \int \frac{x\,dx}{x^2+1} + \tfrac12 \int \frac{dx}{x^2+1} + \tfrac12 \int \frac{dx}{x+1}.

Passo 4

Calculamos cada integral conhecida:
\int \frac{x\,dx}{x^2+1} = \tfrac12 \ln(x^2+1),
\int \frac{dx}{x^2+1} = \arctan x,
\int \frac{dx}{x+1} = \ln\lvert x+1\rvert.
Portanto,
\int \frac{dx}{(x^2+1)(x+1)} = -\tfrac12\cdot\tfrac12\,\ln(x^2+1) + \tfrac12\,\arctan x + \tfrac12\,\ln\lvert x+1\rvert + C
= -\tfrac14 \ln(x^2+1) + \tfrac12 \arctan x + \tfrac12 \ln\lvert x+1\rvert + C.

Resposta

-\tfrac14 \ln(x^2+1) + \tfrac12 \arctan x + \tfrac12 \ln\lvert x+1\rvert + C.

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