Calcule (pode usar regra de l’Hôpital) \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{x}. (1 ponto)

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr)^{x}
que é uma forma indeterminada do tipo 1^{\infty}. Para resolver, vamos usar a técnica de tomar o logaritmo e depois aplicar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Seja
L = \lim_{x\to+\infty}\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr)^{x}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln L = \lim_{x\to+\infty} x \,\ln\!\Bigl(\frac{x+2}{x-1}\Bigr).
Note que x\to+\infty e \ln\bigl(\frac{x+2}{x-1}\bigr)\to\ln1=0, ou seja, ficamos com a forma \infty\cdot0.

Passo 3

Transformamos o produto em quociente para aplicar l’Hôpital:
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\ln\bigl(\frac{x+2}{x-1}\bigr)}{1/x},
agora na forma indeterminada 0/0.

Passo 4

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}\Bigl[\ln\!\bigl(\tfrac{x+2}{x-1}\bigr)\Bigr] = \frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-1} = \frac{-3}{(x+2)(x-1)},
\frac{d}{dx}\Bigl[\tfrac{1}{x}\Bigr] = -\frac{1}{x^2}.
Portanto,
\ln L = \lim_{x\to+\infty} \frac{\,-3/[(x+2)(x-1)]\,}{-1/x^2} = \lim_{x\to+\infty}\frac{3\,x^2}{(x+2)(x-1)}.

Passo 5

Para x\to+\infty temos \frac{3x^2}{(x+2)(x-1)}\to3. Logo
\ln L = 3 \quad\Longrightarrow\quad L = e^{3}.

Resposta

e^{3}

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