Considere um gás ideal, no caso hélio, a 1,0 \mathrm{~atm} e a 20 C , ocupando um volume de 1,0 \mathrm{~L}. O hélio será expandido até ocupar o volume de 2,0 \mathrm{~L}. Calcule o trabalho, o calor, a variação da energia interna e as temperaturas e as pressões finais nos casos em que a expansão é
adiabática. Desenhe os processos no diagrama pV .

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal monatomicamente, hélio, em p_i=1{,}0\\ \mathrm{atm} e T_i=20\,^\circ\mathrm{C}=293\\ \mathrm{K}, com volume V_i=1{,}0\\ \mathrm{L}. Expandimos adiabaticamente até V_f=2{,}0\\ \mathrm{L}. Precisamos de: trabalho W, calor Q, variação de energia interna \Delta U, temperatura final T_f e pressão final p_f. Para isso usamos as propriedades do gás perfeito e as relações do processo adiabático reversível, sabendo que para monatomático \gamma=C_p/C_v=5/3 e C_v=(3/2)R.

Passo 2

Calculamos a quantidade de matéria n pela equação de estado
n=\frac{p_iV_i}{R\,T_i}
Convertendo p_i=1{,}0\\ \mathrm{atm}=1{,}013\times10^5\\ \mathrm{Pa} e V_i=1{,}0\\ \mathrm{L}=1{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3},
n=\frac{1{,}013\times10^5\cdot1{,}0\times10^{-3}}{8{,}314\cdot293}\approx0{,}0416\\ \mathrm{mol}.

Passo 3

Num adiabat reversível vale
T_f=T_i\biggl(\frac{V_i}{V_f}\biggr)^{\gamma-1}.
Como \gamma-1=2/3,
T_f=293\cdot\bigl(\tfrac{1{,}0}{2{,}0}\bigr)^{2/3} =293\cdot0{,}629\approx184\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Da lei pV^\gamma=constante,
p_f=p_i\biggl(\frac{V_i}{V_f}\biggr)^\gamma =1{,}0\\ \mathrm{atm}\;\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)^{5/3} \approx0{,}315\\ \mathrm{atm}.

Passo 5

A variação de energia interna de gás ideal é
\Delta U=n\,C_v\,(T_f-T_i) =n\!\times\!\tfrac{3}{2}R\,(184-293).
Numericamente,
\Delta U=0{,}0416\cdot\frac{3}{2}\cdot8{,}314\cdot(-109)\approx-56\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Em processo adiabático Q=0 e pela primeira lei \Delta U=Q-W logo
W=Q-\Delta U=0-(-56)=+56\\ \mathrm{J}.
Aqui W>0 significa trabalho realizado pelo gás.

Passo 7

No diagrama pV traçamos o ponto inicial (V_i=1{,}0\\ \mathrm{L},\,p_i=1{,}0\\ \mathrm{atm}) e o final (V_f=2{,}0\\ \mathrm{L},\,p_f=0{,}315\\ \mathrm{atm}). A curva que liga os dois é a adiabática, mais inclinada que uma isoterma, obedecendo pV^{5/3}=\mathrm{constante}.

Resposta

W=+56\\ \mathrm{J}
Q=0
\Delta U=-56\\ \mathrm{J}
T_f\approx184\\ \mathrm{K}
p_f\approx0{,}315\\ \mathrm{atm}

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