Considere ar operando em um ciclo de Carnot com as seguintes características: o maior volume é 0,75 \mathrm{~L} a 1 \mathrm{~atm}, T_{C}=300 \mathrm{~K}, T_{H}=800 \mathrm{~K}, a compressão isotérmica divide o volume por um fator r e a compressão adiabática divide o volume pelo mesmo fator r. (a) Faça o diagrama
p V. (b) Qual é o fator r ? (c) Qual é o trabalho de um ciclo? (d) Qual é a eficiência da máquina térmica?

Passo 1

O enunciado descreve um ciclo de Carnot operado com ar ideal, com quatro estágios: isoterma quente (T =800 K), adiabática de expansão, isoterma fria (T =300 K) e adiabática de compressão. O volume máximo é V_{3}=0{,}75 L à pressão P_{3}=1 atm e temperatura T_{C}=300 K. Em cada compressão (isotérmica a T_{C} e adiabática) o volume é reduzido por um fator r. Vamos desenhar o diagrama pV, achar r, o trabalho por ciclo e a eficiência.

Passo 2

O diagrama pV do ciclo de Carnot tem a forma abaixo (cada curva é vista qualitativamente):
1\to 2: isoterma a T_{H}=800 K, expansão \,V_{1}\to V_{2}=r\,V_{1} (hipérbole mais externa).
2\to 3: adiabática de expansão V_{2}\to V_{3}=r\,V_{1}\cdot r (ramo com declive mais acentuado).
3\to 4: isoterma a T_{C}=300 K, compressão V_{3}\to V_{4}=V_{3}/r (hipérbole interna).
4\to 1: adiabática de compressão V_{4}\to V_{1}=V_{3}/r^{2}.
Eixo vertical: pressão p; eixo horizontal: volume V. Rotule os estados 1,2, 3,4 no sentido horário, com 3 de maior volume.

Passo 3

Para achar r usamos a relação da adiabática entre os estados 4 e 1:
T_{C}\,V_{4}^{\,\gamma-1}=T_{H}\,V_{1}^{\,\gamma-1}.
Como V_{4}=V_{3}/r e V_{1}=V_{3}/r^{2}, temos
T_{C}\bigl(V_{3}/r\bigr)^{\gamma-1} = T_{H}\bigl(V_{3}/r^{2}\bigr)^{\gamma-1} \quad\Longrightarrow\quad r^{\,\gamma-1}=\frac{T_{H}}{T_{C}}.
Para o ar \gamma=1{,}4, logo
r =\Bigl(\frac{T_{H}}{T_{C}}\Bigr)^{1/(\gamma-1)} =\Bigl(\frac{800}{300}\Bigr)^{1/0{,}4} =\Bigl(\frac{8}{3}\Bigr)^{2{,}5} \approx11{,}6.

Passo 4

O trabalho líquido por ciclo é
W =Q_{H}-Q_{C} =Q_{H}\Bigl(1-\frac{T_{C}}{T_{H}}\Bigr) \quad\text{e}\quad Q_{H}=n\,R\,T_{H}\ln r.
Calculamos n no estado 3 usando
n =\frac{P_{3}\,V_{3}}{R\,T_{C}} =\frac{1\text{ atm}\times0{,}75\text{ L}}{0{,}08206\,\frac{\text{L\cdotatm}}{\text{mol\cdotK}}\times300\text{ K}} \approx0{,}0305\text{ mol}.
Então
W =n\,R\,(T_{H}-T_{C})\ln r \approx0{,}0305\times8{,}314\times(800-300)\times\ln(11{,}6) \approx3{,}11\times10^{2}\text{ J}.

Passo 5

A eficiência do ciclo de Carnot é
\eta =1-\frac{T_{C}}{T_{H}} =1-\frac{300}{800} =0{,}625 \quad\text{(ou }62{,}5\%\text{).}

Resposta

(a) Diagrama pV com duas isotermas (em T_{H} e T_{C}) e duas adiabáticas, quatro estados numerados 1\to 2\to 3\to 4\to 1 no sentido horário.
(b) r=(T_{H}/T_{C})^{1/(\gamma-1)}=(800/300)^{2{,}5}\approx11{,}6.
(c) W\approx3{,}11\times10^{2} J por ciclo.
(d) \eta=1-300/800=0{,}625 ou 62{,}5\%.

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