Um objeto de massa igual a 8,5 \mathrm{~kg} passa pela origem de um sistema de coordenadas a uma velocidade de 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} dirigida segundo a horizontal. A força resultante que atua sobre ele é de 17 N dirigida para o sentido positivo do eixo y. Calcule: (a) o vetor velocidade e (b) o vetor posição da partícula tendo decorrido um intervalo de tempo igual a 15 s .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (a) o vetor velocidade da partícula após um intervalo de tempo de \;15\\ \mathrm{s}\; e (b) o vetor posição da partícula após esse mesmo intervalo.\n
Informações dadas:
\text{massa } m = 8{,}5\\ \mathrm{kg}
\text{no instante inicial a partícula passa pela origem, ou seja } \vec r_0 = (0,0)\\ \mathrm{m}í
\text{velocidade inicial (módulo) } v_0 = 30\\ \mathrm{m/s}\\ \text{direcionada segundo a horizontal}ó
Logo \vec v_0 = (30,0)\\ \mathrm{m/s}.
\text{força resultante } \vec F = (0,17)\\ \mathrm{N}\\ (\text{direção positiva do eixo }y)ççã
\text{intervalo de tempo } t = 15\\ \mathrm{s}

Passo 2

Vamos encontrar a aceleração usando a Segunda Lei de Newton. A lei diz:
\vec F = m\,\vec a
onde \vec F é a força resultante (em newtons), m é a massa (em quilogramas) e \vec a é a aceleração (em \mathrm{m/s^2}). Isolando \vec a temos:
\vec a = \frac{\vec F}{m}
Substituindo os valores (observando que a força tem só componente em y):
\vec a = \frac{(0,17)}{8{,}5} = \bigl(0,\tfrac{17}{8{,}5}\bigr)\\ \mathrm{m/s^2}
Calculemos \tfrac{17}{8{,}5}. Note que 8{,}5\times 2 = 17, portanto
\vec a = (0,2)\\ \mathrm{m/s^2}.
Interpretando: não há aceleração na direção x, e a aceleração na direção y vale 2\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 3

Agora usamos a equação da velocidade para movimento com aceleração constante:
\vec v(t) = \vec v_0 + \vec a\,t
Expliquei as variáveis: \vec v(t) é a velocidade no tempo t, \vec v_0 é a velocidade inicial, \vec a é a aceleração (constante aqui) e t é o tempo decorrido. Substituindo \vec v_0=(30,0), \vec a=(0,2) e t=15:
\vec v(15) = (30,0) + (0,2)\cdot 15.
Calculando componente a componente:
v_x(15) = 30 + 0\cdot 15 = 30\\ \mathrm{m/s}
v_y(15) = 0 + 2\cdot 15 = 30\\ \mathrm{m/s}
Portanto
\vec v(15) = (30,30)\\ \mathrm{m/s}.
Dica prática para prova: trate sempre as componentes separadamente (x e y). Isso evita confusão quando as forças/velocidades não estão na mesma direção.

Passo 4

Para achar a posição usamos a equação do deslocamento para aceleração constante:
\vec r(t) = \vec r_0 + \vec v_0\,t + \tfrac12 \vec a\,t^2
Aqui \vec r_0 é a posição inicial (aqui (0,0)), \vec v_0 é a velocidade inicial e \vec a a aceleração. Substituindo os valores:
\vec r(15) = (0,0) + (30,0)\cdot 15 + \tfrac12(0,2)\cdot 15^2.
Calculemos passo a passo. Primeiro 15^2:
15^2 = 225.
Agora o termo \vec v_0 t:
(30,0)\cdot 15 = (30\cdot 15,\\\ 0\cdot 15) = (450,0)\\ \mathrm{m}.
E o termo \tfrac12 \vec a t^2:
\tfrac12(0,2)\cdot 225 = \bigl(0,\tfrac12\cdot 2\cdot 225\bigr) = (0,225)\\ \mathrm{m}.
Somando as componentes:
r_x(15) = 0 + 450 + 0 = 450\\ \mathrm{m}
r_y(15) = 0 + 0 + 225 = 225\\ \mathrm{m}
Portanto
\vec r(15) = (450,225)\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Pequeno resumo e checagem: \vec a coerente com unidades; ausência de componente x na força implica velocidade x constante em 30\\ \mathrm{m/s}, enquanto a componente y cresce linearmente com t devido à aceleração 2\\ \mathrm{m/s^2}. Os valores calculados estão consistentes com as fórmulas de movimento retilíneo uniformemente acelerado aplicadas componente a componente. Força, massa, aceleração e vetores foram tratados com atenção às unidades.

Resposta

\vec v(15\\ \mathrm{s}) = (30,30)\\ \mathrm{m/s}\n
\vec r(15\\ \mathrm{s}) = (450,225)\\ \mathrm{m}

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