Um caixote de massa M=20 kg encontra-se apoiado sobre um plano horizontal áspero. O coeficiente de atrito entre o caixote e o plano vale mu=0,75 e a gravidade local vale g=10 m / s^2.
Se o ângulo theta pode ser ajustado convenientemente, o Professor Gomes pede para você determinar a menor força F capaz de mover o caixote ao longo do plano.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um caixote com massa $ M = 20 , kg $ apoiado em um plano horizontal que não é totalmente liso – ou seja, tem atrito. O coeficiente de atrito entre o caixote e o plano é $ \mu = 0,75 $ e a aceleração da gravidade local é $ g = 10 , m/s^2 $. A tarefa é descobrir qual a menor força $ F $ que precisamos aplicar para mover o caixote ao longo do plano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de força, atrito e decomposição de vetores de força.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força de atrito estática máxima que precisa ser superada para iniciar o movimento é dada por:
fatrito = mu cdot N
onde $ N $ é a força normal. Em um plano horizontal sem outras forças verticais, $ N = M \cdot g $.

Passo 3

Entretanto, como vamos aplicar uma força $ F $ em um ângulo $ \theta $ ajustável, precisamos decompor essa força em componentes horizontal e vertical:
  • Componente horizontal: $ F_x = F \cdot \cos(\theta) $
  • Componente vertical: $ F_y = F \cdot \sin(\theta) $

Passo 4

A componente vertical da força $ F_y $ afetará a força normal. Quando aplicamos $ F_y $ para cima, a força normal diminui:
Fy

Passo 5

Substituindo $ N $ na fórmula do atrito:
N

Passo 6

Para começar a mover o caixote, a componente horizontal da força $ F_x $ deve ser igual ou maior que a força de atrito:
Fx

Passo 7

Vamos organizar a equação para resolver $ F $:
F
F cdot cos(theta) + mu cdot F cdot sin(theta) >= mu cdot M cdot g
F (cos(theta) + mu cdot sin(theta)) >= mu cdot M cdot g

Passo 8

Para encontrar a menor força $ F $, precisamos minimizar essa expressão em relação a $ \theta $. Isso ocorre quando a derivada em relação a $ \theta $ é zero. Após derivar e simplificar, descobrimos que o ângulo que minimiza $ F $ é:
F
Portanto,
theta
Substituindo $ \mu = 0,75 $:
theta

Passo 9

Agora, com $ \theta = 36,87^\circ $, calculamos $ F $:
theta = 36,87^circ
Substituindo os valores:
F
Sabendo que $ \cos(36,87^\circ) \approx 0,8 $ e $ \sin(36,87^\circ) \approx 0,6 $:
F = mu cdot M cdot gcos(theta) + mu cdot sin(theta)
F = 0,75 cdot 20 cdot 10cos(36,87^circ) + 0,75 cdot sin(36,87^circ)
cos(36,87^circ) approx 0,8
sin(36,87^circ) approx 0,6

Resposta

A menor força $ F $ necessária para mover o caixote é de $ 120 , N $, aplicada com um ângulo de aproximadamente $ 36,87^\circ $ em relação à horizontal.

Exercícios relacionados