Um caixote está em uma rampa que faz um ângulo \theta com a horizontal. Quando \theta é aumentado a partir de zero, e antes que o caixote comece a escorregar, o valor das grandezas a seguir aumenta, diminui ou permanece o mesmo:
a componente perpendicular à rampa da força gravitacional que age sobre o caixote;

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar se, quando o ângulo \theta da rampa aumenta a partir de zero (e antes do caixote começar a escorregar), a componente da força gravitacional perpendicular à rampa aumenta, diminui ou permanece a mesma.
Informações dadas e hipóteses implícitas:
  • A força gravitacional total tem módulo \;mg\; e atua verticalmente para baixo.
  • A rampa forma um ângulo \theta com a horizontal, e \theta aumenta a partir de \;0.
  • O caixote ainda não escorrega (logo, não há aceleração na direção perpendicular à superfície).
  • Precisamos apenas analisar a componente da força peso perpendicular à superfície da rampa.

Passo 2

Vamos decompor o peso em duas componentes: uma paralela à rampa (que tende a fazer o caixote escorregar) e outra perpendicular à rampa (que pressiona o caixote contra a superfície). Desenhe mentalmente o vetor mg apontando para baixo e a rampa inclinada de ângulo \theta. Ao projetar mg na direção perpendicular à rampa obtemos um triângulo retângulo trigonométrico cujo cateto perpendicular tem comprimento dado por
mg\cos\theta.
Explicando passo a passo: a hipotenusa do triângulo é \;mg\;, o ângulo entre a hipotenusa e a direção perpendicular à rampa é \theta, e a projeção na perpendicular é a hipotenusa vezes \cos\theta. Portanto a componente perpendicular do peso é \;mg\cos\theta\;.

Passo 3

Vamos ver alguns valores numéricos simples para intuir o comportamento:
\text{se }\theta=0^\circ:\quad mg\cos 0^\circ = mg\cdot 1 = mg.
\text{se }\theta=30^\circ:\quad mg\cos 30^\circ = mg\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866\,mg.
\text{se }\theta=60^\circ:\quad mg\cos 60^\circ = mg\cdot\frac{1}{2}=0,5\,mg.
Comparando esses números vemos que, conforme \theta aumenta de 0^\circ para 30^\circ para 60^\circ, o valor de mg\cos\theta diminui.

Passo 4

Se você gostar de uma justificativa mais “matemática”, podemos checar a monotonicidade calculando a derivada de \;mg\cos\theta\; em relação a \theta:
\frac{d}{d\theta}\bigl(mg\cos\theta\bigr) = -mg\sin\theta.
Para \;0\le\theta<90^\circ\; temos \sin\theta\ge 0, logo a derivada é menor ou igual a zero, o que significa que a função \;mg\cos\theta\; é não crescente nesse intervalo — na prática ela decresce estritamente para \theta>0. Assim, conforme \theta aumenta, mg\cos\theta diminui.

Passo 5

Interpretação física curta e motivadora: quando a rampa fica mais inclinada, menos do peso está “empurrando” perpendicularmente contra a rampa — mais do peso fica na componente paralela que tenta arrastar o caixote. Por isso a componente perpendicular do peso diminui com \theta.

Resposta

diminui

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