Um caixote está em uma rampa que faz um ângulo
com a horizontal. Quando
é aumentado a partir de zero, e antes que o caixote comece a escorregar, o valor das grandezas a seguir aumenta, diminui ou permanece o mesmo:
a componente perpendicular à rampa da força gravitacional que age sobre o caixote;
a componente perpendicular à rampa da força gravitacional que age sobre o caixote;
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar se, quando o ângulo
da rampa aumenta a partir de zero (e antes do caixote começar a escorregar), a componente da força gravitacional perpendicular à rampa aumenta, diminui ou permanece a mesma.
Informações dadas e hipóteses implícitas:
Informações dadas e hipóteses implícitas:
- A força gravitacional total tem módulo
e atua verticalmente para baixo. - A rampa forma um ângulo
com a horizontal, e aumenta a partir de . - O caixote ainda não escorrega (logo, não há aceleração na direção perpendicular à superfície).
- Precisamos apenas analisar a componente da força peso perpendicular à superfície da rampa.
Passo 2
Vamos decompor o peso em duas componentes: uma paralela à rampa (que tende a fazer o caixote escorregar) e outra perpendicular à rampa (que pressiona o caixote contra a superfície). Desenhe mentalmente o vetor
apontando para baixo e a rampa inclinada de ângulo
. Ao projetar
na direção perpendicular à rampa obtemos um triângulo retângulo trigonométrico cujo cateto perpendicular tem comprimento dado por
Explicando passo a passo: a hipotenusa do triângulo é
, o ângulo entre a hipotenusa e a direção perpendicular à rampa é
, e a projeção na perpendicular é a hipotenusa vezes
. Portanto a componente perpendicular do peso é
.
Passo 3
Vamos ver alguns valores numéricos simples para intuir o comportamento:
Comparando esses números vemos que, conforme
aumenta de
para
para
, o valor de
diminui.
Passo 4
Se você gostar de uma justificativa mais “matemática”, podemos checar a monotonicidade calculando a derivada de
em relação a
:
Para
temos
, logo a derivada é menor ou igual a zero, o que significa que a função
é não crescente nesse intervalo — na prática ela decresce estritamente para
. Assim, conforme
aumenta,
diminui.
Passo 5
Interpretação física curta e motivadora: quando a rampa fica mais inclinada, menos do peso está “empurrando” perpendicularmente contra a rampa — mais do peso fica na componente paralela que tenta arrastar o caixote. Por isso a componente perpendicular do peso diminui com
.
Resposta
diminui