Seja o seguinte potencial, ao qual uma partícula de massa m está submetida:
V(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<-a / 2 \\\ V_{0},-\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} \\\\ 0, & x>a / 2 \end{array}\right.
onde V_{0}>0. A partícula se propaga a partir de x>a / 2, com momento no sentido negativo do eixo x (isto é, para a “esquerda”), e com energia E<V_{0}.
a) Obtenha as soluções da equação de Schroedinger independente do tempo para as três regiōes, x<-\frac{a}{2},-\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} e x>a / 2, a menos dos valores de constantes multiplicativas.
b) Determine se uma ou mais destas constantes é nula, e justifique.
c) Aplicando as condições de continuidade, obtenha um sistema de equações lineares que permita obter as demais constantes (não é preciso resolver o sistema).

Passo 1

O enunciado dá um potencial em uma dimensão:
V(x)=\left\{\begin{array}{cc} 0, & x<-\frac{a}{2} \\\ V_{0}, & -\frac{a}{2}<x<\frac{a}{2} \\\\ 0, & x>\frac{a}{2} \end{array}\right.
com V_{0}>0. A partícula, de massa m, vem de x> \tfrac{a}{2} movendo-se para a esquerda (momentum apontando no sentido negativo do eixo x) e tem energia E tal que E<V_{0}.
O que nos pedem:
  • (a) Obter as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo nas três regiões x<-\tfrac{a}{2}, -\tfrac{a}{2}<x<\tfrac{a}{2} e x>\tfrac{a}{2}, salvo constantes multiplicativas.
  • (b) Determinar se alguma(s) dessas constantes deve(m) ser nula e justificar.
  • (c) Aplicar as condições de continuidade (continuidade de \psi e \psi') em x=\pm \tfrac{a}{2} e escrever o sistema linear que relaciona as constantes (não é preciso resolver).
Todas as informações relevantes estão acima: forma do potencial, condição de energia E<V_{0}, direção da partícula (vem da direita, i.e. de x=+\infty para a esquerda). A resolução começa a seguir.

Passo 2

Escrevendo a equação de Schrödinger independente do tempo (uma aula rápida sobre isto):
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\psi''(x)+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Rearranjando, para cada região com potencial constante obtemos uma equação homogênea com coeficientes constantes. Nas regiões onde V=0 (regiões I e III) a equação é
\psi''(x)+k^{2}\psi(x)=0,
onde definimos
k\equiv\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
A solução geral dessa equação é combinação linear de ondas planas:
\psi(x)=A e^{ikx}+B e^{-ikx}.
Interpretação física (muito importante para escolher constantes): e^{ikx} corresponde a uma onda viajando para a direita (momentum positivo) e e^{-ikx} corresponde a uma onda viajando para a esquerda (momentum negativo). Vou usar essa interpretação quando decidir quais termos ficam.

Passo 3

Na região interna, -\tfrac{a}{2}<x<\tfrac{a}{2}, temos V=V_{0} com E<V_{0}. A equação torna-se
\psi''(x)-\kappa^{2}\psi(x)=0,
com
\kappa\equiv\frac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}>0.
A solução geral é combinação linear de exponenciais reais (soluções evanescentes):
\psi(x)=C e^{\kappa x}+D e^{-\kappa x}.
Explicação didática: porque E<V_{0} a partícula está na região classically proibida e a solução é decaimento/explosão exponencial (não oscilatória). Como a região é finita, ambos os termos são permitidos dentro dela; só em semi-infinitos precisaríamos eliminar termos que explodem em infinito.

Passo 4

Agora escolhemos notação adaptada à situação física (partícula incidentes da direita). Defino as três soluções gerais (cada uma com suas constantes):
  • Região I (esquerda do poço): x<-\tfrac{a}{2}. Geralmente escreveríamos A e^{ikx}+B e^{-ikx}, mas como não há onda incidente a partir de x=-\infty (a partícula vem da direita), não existe componente que se aproxime do poço vindo da esquerda. Portanto vou escrever por enquanto a forma geral e discutirei a eliminação de constantes no passo seguinte:
\psi_{I}(x)=A_{L}\,e^{ikx}+B_{L}\,e^{-ikx},\qquad (x<-\tfrac{a}{2}).
  • Região II (dentro do poço/barreira): -\tfrac{a}{2}<x<\tfrac{a}{2},
\psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x}.
  • Região III (direita do poço): x>\tfrac{a}{2}. Como a partícula vem da direita com movimento para a esquerda, a componente incidente é a onda esquerda-propagante e^{-ikx}; haverá possivelmente uma onda refletida indo para a direita e^{ikx}. Então escrevo
\psi_{III}(x)=A_{\text{in}}\,e^{-ikx}+R\,e^{ikx},\qquad (x>\tfrac{a}{2}),
onde A_{\text{in}} é a amplitude da onda incidente (pode ser escolhida como 1 para normalizar o problema) e R é a amplitude refletida.
Estas são as formas gerais pedidas em (a), com constantes A_{L},B_{L},C,D,A_{\text{in}},R.

Passo 5

Decidir quais constantes são nulas — explicação passo a passo e física (resposta ao item b):
  • Na região I ( x\to -\infty) não existe onda incidente vinda do lado esquerdo: a partícula não é emitida de -\infty. Assim a componente que corresponde a uma onda viajando para a direita em direção ao poço (i.e. e^{ikx}) deve ser zero. Isso significa que devemos pôr
A_{L}=0.
Resta apenas a onda transmitida que se afasta para -\infty, que é a componente com movimento para a esquerda e^{-ikx}; chamo essa amplitude de transmissão T, isto é B_{L}=T. Portanto
\psi_{I}(x)=T\,e^{-ikx}\qquad (x<-\tfrac{a}{2}).
  • Na região III mantemos tanto a onda incidente A_{\text{in}}\,e^{-ikx} quanto a refletida R\,e^{ikx}, porque o feixe vem dessa direção e pode haver reflexão.
  • Na região II (dentro da barreira) ambos C e D podem coexistir: a região é finita e não há razão física para eliminar algum termo (nenhuma divergência no infinito ocorre ali). Logo C e D em geral não são nulos.
Resumo: a única constante que deve ser zero por condição física de incidente apenas pela direita é A_{L}=0. Podemos então reescrever as soluções usando T no lugar de B_{L}.
Observação prática: podemos escolher A_{\text{in}}=1 para trabalhar com amplitudes relativas (reflexão/transmissão relativas ao feixe incidente); isso simplifica o sistema. Não é obrigatório, mas é comum.

Passo 6

Agora aplicamos as condições de continuidade nos pontos x=\pm \tfrac{a}{2}. Relembrando: para potencial finito e não singular, \psi(x) e \psi'(x) são contínuas em todas as x. Vou usar as formas finais:
\psi_{I}(x)=T\,e^{-ikx},\qquad \psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x},\qquad \psi_{III}(x)=A_{\text{in}}\,e^{-ikx}+R\,e^{ikx}.
Aplicando em x=\tfrac{a}{2} a continuidade de \psi:
\psi_{III}\!\Big(\tfrac{a}{2}\Big)=\psi_{II}\!\Big(\tfrac{a}{2}\Big)
que dá explicitamente
A_{\text{in}}\,e^{-ik\frac{a}{2}}+R\,e^{ik\frac{a}{2}} = C\,e^{\kappa\frac{a}{2}}+D\,e^{-\kappa\frac{a}{2}}.
Derivando e igualando as derivadas em x=\tfrac{a}{2}:
\psi'_{III}\!\Big(\tfrac{a}{2}\Big)=\psi'_{II}\!\Big(\tfrac{a}{2}\Big)
resulta em
-ik\,A_{\text{in}}\,e^{-ik\frac{a}{2}}+ik\,R\,e^{ik\frac{a}{2}} = \kappa\,C\,e^{\kappa\frac{a}{2}}-\kappa\,D\,e^{-\kappa\frac{a}{2}}.
Agora em x=-\tfrac{a}{2} a continuidade de \psi:
\psi_{II}\!\Big(-\tfrac{a}{2}\Big)=\psi_{I}\!\Big(-\tfrac{a}{2}\Big)
deu
C\,e^{-\kappa\frac{a}{2}}+D\,e^{\kappa\frac{a}{2}} = T\,e^{ik\frac{a}{2}}.
E a continuidade das derivadas em x=-\tfrac{a}{2}:
\psi'_{II}\!\Big(-\tfrac{a}{2}\Big)=\psi'_{I}\!\Big(-\tfrac{a}{2}\Big)
leva a
\kappa\,C\,e^{-\kappa\frac{a}{2}}-\kappa\,D\,e^{\kappa\frac{a}{2}} = -ik\,T\,e^{ik\frac{a}{2}}.
Essas quatro equações formam um sistema linear nas incógnitas R,\,T,\,C,\,D (considerando A_{\text{in}} conhecido; frequentemente toma-se A_{\text{in}}=1). Esse sistema é exatamente o que permite determinar as amplitudes de reflexão e transmissão e as constantes internas.

Resposta

(a) \displaystyle \psi_{I}(x)=T\,e^{-ikx},\qquad (x<-\tfrac{a}{2})\n \displaystyle \psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x},\qquad (-\tfrac{a}{2}<x<\tfrac{a}{2})\n \displaystyle \psi_{III}(x)=A_{\text{in}}\,e^{-ikx}+R\,e^{ikx},\qquad (x>\tfrac{a}{2}), onde k=\dfrac{\sqrt{2mE}}{\hbar} e \kappa=\dfrac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}.
(b) A constante correspondente à onda incidente vinda da esquerda é nula: A_{L}=0. Em nossas notações isso implicou em escrever \psi_{I}(x)=T e^{-ikx} (não há componente e^{ikx} em x<-\tfrac{a}{2}) — justificativa: a partícula é enviada apenas da direita, logo não pode haver onda incidente a partir de -\infty. As constantes C,D,R,T (e A_{\text{in}} que representa o feixe incidente) em geral não são zero.
(c) Sistema linear (continuidade de \psi e \psi' em x=\pm \tfrac{a}{2}):
A_{\text{in}}\,e^{-ik\frac{a}{2}}+R\,e^{ik\frac{a}{2}} = C\,e^{\kappa\frac{a}{2}}+D\,e^{-\kappa\frac{a}{2}},
-ik\,A_{\text{in}}\,e^{-ik\frac{a}{2}}+ik\,R\,e^{ik\frac{a}{2}} = \kappa\,C\,e^{\kappa\frac{a}{2}}-\kappa\,D\,e^{-\kappa\frac{a}{2}},
C\,e^{-\kappa\frac{a}{2}}+D\,e^{\kappa\frac{a}{2}} = T\,e^{ik\frac{a}{2}},
\kappa\,C\,e^{-\kappa\frac{a}{2}}-\kappa\,D\,e^{\kappa\frac{a}{2}} = -ik\,T\,e^{ik\frac{a}{2}}.

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