Um satélite de \mathbf{2 0 ~ K g} de massa está em uma órbita circular com um período de \mathbf{2 , 4} horas e uma distância de r=8,0 \times 10^{6} \mathrm{~m} do centro de um planeta de massa desconhecida. Determine: a) a massa do planeta, b) a velocidade orbital do satélite em torno do planeta e (c) a energia mecânica do satélite nessa órbita. (3,0)

Passo 1

O enunciado dá um satélite de massa \,20\\ \mathrm{kg}\, em órbita circular ao redor de um planeta de massa desconhecida. As informações fornecidas e o que se pede são:
  • Massa do satélite: \;m=20\\ \mathrm{kg}.
  • Raio da órbita (distância do centro do planeta): \;r=8,0\times 10^{6}\\ \mathrm{m} — estou pegando este valor do enunciado.
  • Período orbital: \;T=2,4\\ \mathrm{h} (horas) — estou pegando este valor do enunciado.
  • Constante gravitacional universal: \;G=6,67\times 10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}} (valor padrão, vou usar isso nos cálculos).
Perguntas:
a) Determinar a massa do planeta.
b) Determinar a velocidade orbital do satélite.
c) Determinar a energia mecânica total do satélite nessa órbita.

Passo 2

Preparação e conversões iniciais (importante antes de calcular):
  • Converter o período de horas para segundos, porque G está em unidades do SI (segundos).
T = 2,4\\ \mathrm{h} = 2,4 \times 3600\\ \mathrm{s} = 8640\\ \mathrm{s}.
Agora, vou obter uma relação entre o período T, o raio r e a massa do planeta M. Para uma órbita circular as fórmulas básicas são:
  1. Equilíbrio entre força gravitacional e força centrípeta:
\frac{G M m}{r^{2}} = \frac{m v^{2}}{r}.
Nessa equação:
  • G é a constante gravitacional,
  • M é a massa do planeta (o que queremos),
  • m é a massa do satélite (cancela na equação),
  • r é o raio da órbita,
  • v é a velocidade orbital.
Cancelando m e simplificando obtemos a relação clássica
v^{2} = \frac{G M}{r}.
  1. Relação entre velocidade e período para movimento circular uniforme:
v = \frac{2\pi r}{T}.
Substituindo v da segunda na primeira, obtemos a fórmula que relaciona T, r e M:
\left(\frac{2\pi r}{T}\right)^{2} = \frac{G M}{r}.
Isolando M obtemos (esta é a fórmula que vamos usar para (a)):
M = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}.
Expliquei cada variável usada. Agora aplico a fórmula com os valores numéricos.

Passo 3

Cálculo passo a passo da massa do planeta usando
M = \frac{4\pi^{2} r^{3}}{G T^{2}}.
Calculemos cada pedaço:
  • Primeiro r^{3}:
r^{3} = \left(8,0\times 10^{6}\right)^{3} = 5,12\times 10^{20}\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Depois 4\pi^{2}. Numericamente:
4\pi^{2} \approx 39,4784.
  • Produto 4\pi^{2} r^{3}:
4\pi^{2} r^{3} \approx 39,4784 \times 5,12\times 10^{20} = 2,02088\times 10^{22}.
  • Agora T^{2}:
T^{2} = 8640^{2} = 7,46496\times 10^{7}\\ \mathrm{s^{2}}.
  • Produto G T^{2}:
G T^{2} = 6,67\times 10^{-11}\times 7,46496\times 10^{7} = 4,9784\times 10^{-3}.
  • Finalmente M:
M = \frac{2,02088\times 10^{22}}{4,9784\times 10^{-3}} \approx 4,06\times 10^{24}\\ \mathrm{kg}.
Interpretação: a massa do planeta é aproximadamente \;4,06\times 10^{24}\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Agora calculo a velocidade orbital do satélite. Posso usar duas fórmulas equivalentes; vou usar a mais direta:
v = \frac{2\pi r}{T}.
Substituindo valores:
v = \frac{2\pi \times 8,0\times 10^{6}}{8640}.
Calcule passo a passo:
  • Numerador 2\pi r \approx 6,28318 \times 8,0\times 10^{6} = 5,02655\times 10^{7}.
  • Divisão:
v \approx \frac{5,02655\times 10^{7}}{8640} \approx 5,82\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usar v=\sqrt{\dfrac{GM}{r}} com o M encontrado dá valor concordante com o acima (mesma ordem e aproximadamente o mesmo número).

Passo 5

Cálculo da energia mecânica total do satélite na órbita circular.
Conceitos rápidos (lembrete didático):
  • Energia cinética do satélite: \;K=\dfrac{1}{2} m v^{2}.
  • Energia potencial gravitacional (entre satélite e planeta): \;U = -\dfrac{G M m}{r}.
  • Energia mecânica total (soma): \;E = K + U.
Para órbita circular há uma relação útil (decorrente de v^{2}=GM/r):
K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \frac{G M}{r} = \frac{G M m}{2 r}.
Logo
E = K + U = \frac{G M m}{2 r} - \frac{G M m}{r} = -\frac{G M m}{2 r}.
Essa fórmula é muito prática: energia total de um corpo de massa m em órbita circular de raio r ao redor de massa M é -\dfrac{G M m}{2 r}.
Substituindo números (uso m=20\\ \mathrm{kg}, M=4,06\times 10^{24}\\ \mathrm{kg}, r=8,0\times 10^{6}\\ \mathrm{m}):
  • Calcule \dfrac{G M}{r}:
\frac{G M}{r} \approx \frac{6,67\times 10^{-11}\times 4,06\times 10^{24}}{8,0\times 10^{6}} \approx 3,384\times 10^{7}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Então energia total:
E = -\frac{G M m}{2 r} = -\frac{m}{2}\cdot\frac{G M}{r} \approx -10 \times 3,384\times 10^{7} = -3,38\times 10^{8}\\ \mathrm{J}.
Também dá para conferir calculando K=\tfrac{1}{2}mv^{2} com v\approx 5,82\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}:
K \approx \tfrac{1}{2}\times 20\times (5,82\times 10^{3})^{2} \approx 3,38\times 10^{8}\\ \mathrm{J},
e U\approx -6,76\times 10^{8}\\ \mathrm{J}, logo E=K+U\approx -3,38\times 10^{8}\\ \mathrm{J}, consistente com a fórmula acima.

Resposta

(a) \;M \approx 4,06\times 10^{24}\\ \mathrm{kg}
(b) \;v \approx 5,82\times 10^{3}\\ \mathrm{m/s}
(c) \;E \approx -3,38\times 10^{8}\\ \mathrm{J}

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