Um satélite de
de massa está em uma órbita circular com um período de
horas e uma distância de
do centro de um planeta de massa desconhecida. Determine: a) a massa do planeta, b) a velocidade orbital do satélite em torno do planeta e (c) a energia mecânica do satélite nessa órbita.
Passo 1
O enunciado dá um satélite de massa
em órbita circular ao redor de um planeta de massa desconhecida. As informações fornecidas e o que se pede são:
- Massa do satélite:
. - Raio da órbita (distância do centro do planeta):
— estou pegando este valor do enunciado. - Período orbital:
(horas) — estou pegando este valor do enunciado. - Constante gravitacional universal:
(valor padrão, vou usar isso nos cálculos).
Perguntas:
a) Determinar a massa do planeta.
b) Determinar a velocidade orbital do satélite.
c) Determinar a energia mecânica total do satélite nessa órbita.
a) Determinar a massa do planeta.
b) Determinar a velocidade orbital do satélite.
c) Determinar a energia mecânica total do satélite nessa órbita.
Passo 2
Preparação e conversões iniciais (importante antes de calcular):
- Converter o período de horas para segundos, porque
está em unidades do SI (segundos).
Agora, vou obter uma relação entre o período
, o raio
e a massa do planeta
. Para uma órbita circular as fórmulas básicas são:
- Equilíbrio entre força gravitacional e força centrípeta:
Nessa equação:
-
é a constante gravitacional, -
é a massa do planeta (o que queremos), -
é a massa do satélite (cancela na equação), -
é o raio da órbita, -
é a velocidade orbital.
Cancelando
e simplificando obtemos a relação clássica
- Relação entre velocidade e período para movimento circular uniforme:
Substituindo
da segunda na primeira, obtemos a fórmula que relaciona
,
e
:
Isolando
obtemos (esta é a fórmula que vamos usar para (a)):
Expliquei cada variável usada. Agora aplico a fórmula com os valores numéricos.
Passo 3
Cálculo passo a passo da massa do planeta usando
Calculemos cada pedaço:
- Primeiro
:
- Depois
. Numericamente:
- Produto
:
- Agora
:
- Produto
:
- Finalmente
:
Interpretação: a massa do planeta é aproximadamente
.
Passo 4
Agora calculo a velocidade orbital do satélite. Posso usar duas fórmulas equivalentes; vou usar a mais direta:
Substituindo valores:
Calcule passo a passo:
- Numerador
. - Divisão:
Verificação alternativa (opcional, para ganhar confiança): usar
com o
encontrado dá valor concordante com o acima (mesma ordem e aproximadamente o mesmo número).
Passo 5
Cálculo da energia mecânica total do satélite na órbita circular.
Conceitos rápidos (lembrete didático):
- Energia cinética do satélite:
. - Energia potencial gravitacional (entre satélite e planeta):
. - Energia mecânica total (soma):
.
Para órbita circular há uma relação útil (decorrente de
):
Logo
Essa fórmula é muito prática: energia total de um corpo de massa
em órbita circular de raio
ao redor de massa
é
.
Substituindo números (uso
,
,
):
- Calcule
:
- Então energia total:
Também dá para conferir calculando
com
:
e
, logo
, consistente com a fórmula acima.
Resposta
(a)
(b)
(c)