Um caixote sem tampa deverá ter volume igual a
e será feito com uma folha extremamente fina de metal, de modo que a espessura de suas faces seja desprezível.
Calcule as dimensões dessa caixa para que a quantidade de metal utilizada seja a menor possível, ou seja, encontre as dimensões de forma que a área superficial da caixa seja mínima.
Calcule as dimensões dessa caixa para que a quantidade de metal utilizada seja a menor possível, ou seja, encontre as dimensões de forma que a área superficial da caixa seja mínima.
Passo 1
O enunciado pede uma caixa sem tampa com volume fixo de
, e queremos escolher comprimento
, largura
e altura
para que a área superficial sem tampa seja mínima. O conteúdo é otimização de função de várias variáveis com restrição de volume.
Passo 2
Denotamos as variáveis da caixa: comprimento
, largura
e altura
. A área superficial sem tampa é dada por
O volume é
Passo 3
Usamos a restrição do volume para eliminar
. Isolando
temos
Passo 4
Substituímos
na expressão de
:
Passo 5
Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
Passo 6
Das duas equações tiramos
Multiplicando as duas dá
, ou seja, a base é quadrada.
Passo 7
Com
, a restrição de volume
leva a
Além disso, de
e
obtemos
logo
Passo 8
Concluímos que a configuração de menor área usa uma base quadrada de lado
metros e altura
metros.