Um caixote sem tampa deverá ter volume igual a 10 m^3 e será feito com uma folha extremamente fina de metal, de modo que a espessura de suas faces seja desprezível.
Calcule as dimensões dessa caixa para que a quantidade de metal utilizada seja a menor possível, ou seja, encontre as dimensões de forma que a área superficial da caixa seja mínima.

Passo 1

O enunciado pede uma caixa sem tampa com volume fixo de 10,m^3, e queremos escolher comprimento L, largura W e altura H para que a área superficial sem tampa seja mínima. O conteúdo é otimização de função de várias variáveis com restrição de volume.

Passo 2

Denotamos as variáveis da caixa: comprimento L, largura W e altura H. A área superficial sem tampa é dada por
S = LW + 2LH + 2WH
O volume é
V = L W H = 10

Passo 3

Usamos a restrição do volume para eliminar H. Isolando H temos
H = 10L W

Passo 4

Substituímos H na expressão de S:
S(L,W) = LW + 2L!(10LW) + 2W!(10LW) = LW + 20W + 20L

Passo 5

Para encontrar o mínimo, calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero:
partial Spartial L = W - 20L^2 = 0, partial Spartial W = L - 20W^2 = 0

Passo 6

Das duas equações tiramos
W = 20L^2, L = 20W^2
Multiplicando as duas dá L = W, ou seja, a base é quadrada.

Passo 7

Com W = L, a restrição de volume L^2 H = 10 leva a
H = 10L^2
Além disso, de W = 20/L^2 e W = L obtemos
L^3 = 20,
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L = W = raiz[3]20, H = 10(raiz[3]20)^2 = raiz[3]202

Passo 8

Concluímos que a configuração de menor área usa uma base quadrada de lado raiz[3]20 metros e altura tfracraiz[3]202 metros.

Resposta

L = W = raiz[3]20 m, H = tfracraiz[3]202 m.

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