Encontre os pontos de máximo e mínimo da função
na retângulo D :
Passo 1
Vamos considerar o enunciado: queremos achar os extremos (máximos e mínimos) da função de duas variáveis
num conjunto fechado e limitado (o retângulo
). O conteúdo envolvido é cálculo de extremos de funções de duas variáveis em um domínio fechado: precisamos encontrar pontos críticos internos (onde
) e depois analisar a fronteira (aresta a aresta) avaliando funções de uma variável.
Passo 2
Primeiro passo de fato: achamos os pontos críticos internos resolvendo
. Calculamos as derivadas parciais:
Igualando ambas a zero:
Logo o ponto crítico é
$$
f(2,2)=2^2-2\cdot2\cdot2+4\cdot2=4-8+8=4.
$$
Passo 3
Agora vamos avaliar
em cada aresta de
:
Na aresta :
Na aresta
Na aresta
:
Na aresta
:
Na aresta
:
Passo 4
Reunindo todos os candidatos de extremos:
((2,2),f=4;\ (0,0),f=0;\ (0,3),f=12;\ (4,0),f=16;\ (4,3),f=4;\ (3,3),f=3.]
Comparando valores, vemos que o valor mínimo global é em
e o máximo global é
em
.
((2,2),f=4;\ (0,0),f=0;\ (0,3),f=12;\ (4,0),f=16;\ (4,3),f=4;\ (3,3),f=3.]
Comparando valores, vemos que o valor mínimo global é
Resposta
Mínimo global:
com
. Máximo global:
com
.