Encontre os pontos de máximo e mínimo da função f(x, y) na retângulo D :
f(x, y)=x^2-2 x y+4 y D=(x, y) in R^2: 0 <= x <= 4,0 <= y <= 3

Passo 1

Vamos considerar o enunciado: queremos achar os extremos (máximos e mínimos) da função de duas variáveis f(x,y)=x^2-2xy+4y num conjunto fechado e limitado (o retângulo D). O conteúdo envolvido é cálculo de extremos de funções de duas variáveis em um domínio fechado: precisamos encontrar pontos críticos internos (onde nabla f=0) e depois analisar a fronteira (aresta a aresta) avaliando funções de uma variável.

Passo 2

Primeiro passo de fato: achamos os pontos críticos internos resolvendo nabla f(x,y)=0. Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x=2x-2y,
partial fpartial y=-2x+4
Igualando ambas a zero:
2x-2y=0implies x=y,
-2x+4=0implies x=2
Logo o ponto crítico é (2,2), que está dentro de D. Neste ponto
$$
f(2,2)=2^2-2\cdot2\cdot2+4\cdot2=4-8+8=4.
$$

Passo 3

Agora vamos avaliar f em cada aresta de D:
Na aresta x=0, yin[0,3]:
f(0,y)=0-0+4y=4y, que cresce com y. Logo o mínimo ocorre em y=0 ( f=0) e o máximo em y=3 ( f=12).
Na aresta x=4, yin[0,3]:
f(4,y)=16-8y+4y=16-4y, que decresce com y. Então máximo em y=0 ( f=16) e mínimo em y=3 ( f=4).
Na aresta y=0, xin[0,4]:
f(x,0)=x^2, que tem mínimo em x=0 ( f=0) e máximo em x=4 ( f=16).
Na aresta y=3, xin[0,4]:
f(x,3)=x^2-6x+12=(x-3)^2+3, que tem mínimo em x=3 ( f=3) e cresce até x=0 e x=4, dando f(0,3)=12 e f(4,3)=4.

Passo 4

Reunindo todos os candidatos de extremos:
((2,2),f=4;\ (0,0),f=0;\ (0,3),f=12;\ (4,0),f=16;\ (4,3),f=4;\ (3,3),f=3.]
Comparando valores, vemos que o valor mínimo global é 0 em (0,0) e o máximo global é 16 em (4,0).

Resposta

Mínimo global: (0,0) com f=0. Máximo global: (4,0) com f=16.

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