Dada a função
:
calcule o limite para cada ponto fora do domínio;
calcule o limite para cada ponto fora do domínio;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4x + 3} $ e precisa calcular o limite dessa função para cada ponto que não está no domínio dela. Isso envolve conceitos de funções racionais e limites. Vamos precisar entender onde a função não está definida e depois analisar o comportamento próximo a esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quais são os pontos onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Assim, precisamos resolver a equação $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $.
Passo 3
Para resolver $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $, podemos fatorar o polinômio. Buscamos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
Passo 4
Assim, o denominador se anula para $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Portanto, a função não está definida nesses pontos: $ x = 1 $ e $ x = 3 $.
Passo 5
Agora, vamos calcular os limites de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima desses pontos onde a função não está definida, ou seja, $ x \to 1 $ e $ x \to 3 $.
Passo 6
Vamos começar com $ x \to 1 $. Substituindo $ x = 1 $ na função:
Como o denominador tende a zero e o numerador é diferente de zero, o limite pode ser $ +\infty $ ou $ -\infty $, dependendo do comportamento dos sinais.
Passo 7
Para determinar o sinal, analisamos o comportamento de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda.
-
Quando $ x \to 1^- $:
- Numerador: $ 1^{2} - 4 = -3 $ (negativo)
- Denominador: $ (x - 1)(x - 3) $. Perto de 1, $ x - 1 $ é ligeiramente negativo e $ x - 3 $ é negativo. Então, negativo × negativo = positivo.
- Portanto, $ f(x) $ tende a $ -\infty $.
-
Quando $ x \to 1^+ $:
- Numerador: Ainda é -3
- Denominador: $ x - 1 $ é positivo e $ x - 3 $ é negativo. Positivo × negativo = negativo.
- Portanto, $ f(x) $ tende a $ +\infty $.
Passo 8
Agora, vamos calcular o limite quando $ x \to 3 $.
Substituindo $ x = 3 $ na função:
Novamente, o denominador tende a zero e o numerador é diferente de zero, então o limite pode ser $ +\infty $ ou $ -\infty $.
Passo 9
Vamos analisar o sinal para $ x \to 3 $:
-
Quando $ x \to 3^- $:
- Numerador: $ 9 - 4 = 5 $ (positivo)
- Denominador: $ (x - 1)(x - 3) $. Próximo de 3, $ x - 1 $ é positivo e $ x - 3 $ é ligeiramente negativo. Positivo × negativo = negativo.
- Portanto, $ f(x) $ tende a $ -\infty $.
-
Quando $ x \to 3^+ $:
- Numerador: Ainda é 5
- Denominador: $ x - 1 $ é positivo e $ x - 3 $ é positivo. Positivo × positivo = positivo.
- Portanto, $ f(x) $ tende a $ +\infty $.
Resposta
Os limites da função $ f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4x + 3} $ para os pontos fora do domínio são: