Dada a função f(x)=x^2-4x^2-4 x+3 :
calcule o limite para cada ponto fora do domínio;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função $ f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4x + 3} $ e precisa calcular o limite dessa função para cada ponto que não está no domínio dela. Isso envolve conceitos de funções racionais e limites. Vamos precisar entender onde a função não está definida e depois analisar o comportamento próximo a esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quais são os pontos onde a função não está definida, ou seja, onde o denominador é zero. Assim, precisamos resolver a equação $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $.

Passo 3

Para resolver $ x^{2} - 4x + 3 = 0 $, podemos fatorar o polinômio. Buscamos dois números que multiplicados dão 3 e somados dão -4. Esses números são -1 e -3. Então:
x^2 - 4x + 3 = 0

Passo 4

Assim, o denominador se anula para $ x = 1 $ e $ x = 3 $. Portanto, a função não está definida nesses pontos: $ x = 1 $ e $ x = 3 $.

Passo 5

Agora, vamos calcular os limites de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima desses pontos onde a função não está definida, ou seja, $ x \to 1 $ e $ x \to 3 $.

Passo 6

Vamos começar com $ x \to 1 $. Substituindo $ x = 1 $ na função:
x to 1
Como o denominador tende a zero e o numerador é diferente de zero, o limite pode ser $ +\infty $ ou $ -\infty $, dependendo do comportamento dos sinais.

Passo 7

Para determinar o sinal, analisamos o comportamento de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 1 pela direita e pela esquerda.
  • Quando $ x \to 1^- $:
    • Numerador: $ 1^{2} - 4 = -3 $ (negativo)
    • Denominador: $ (x - 1)(x - 3) $. Perto de 1, $ x - 1 $ é ligeiramente negativo e $ x - 3 $ é negativo. Então, negativo × negativo = positivo.
    • Portanto, $ f(x) $ tende a $ -\infty $.
  • Quando $ x \to 1^+ $:
    • Numerador: Ainda é -3
    • Denominador: $ x - 1 $ é positivo e $ x - 3 $ é negativo. Positivo × negativo = negativo.
    • Portanto, $ f(x) $ tende a $ +\infty $.

Passo 8

Agora, vamos calcular o limite quando $ x \to 3 $.
Substituindo $ x = 3 $ na função:
x to 3
Novamente, o denominador tende a zero e o numerador é diferente de zero, então o limite pode ser $ +\infty $ ou $ -\infty $.

Passo 9

Vamos analisar o sinal para $ x \to 3 $:
  • Quando $ x \to 3^- $:
    • Numerador: $ 9 - 4 = 5 $ (positivo)
    • Denominador: $ (x - 1)(x - 3) $. Próximo de 3, $ x - 1 $ é positivo e $ x - 3 $ é ligeiramente negativo. Positivo × negativo = negativo.
    • Portanto, $ f(x) $ tende a $ -\infty $.
  • Quando $ x \to 3^+ $:
    • Numerador: Ainda é 5
    • Denominador: $ x - 1 $ é positivo e $ x - 3 $ é positivo. Positivo × positivo = positivo.
    • Portanto, $ f(x) $ tende a $ +\infty $.

Resposta

Os limites da função $ f(x) = \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4x + 3} $ para os pontos fora do domínio são:
  • f(x) = x^2 - 4x^2 - 4x + 3
  • limx to 1^- f(x) = -infty
  • limx to 1^+ f(x) = +infty
  • limx to 3^- f(x) = -infty

Exercícios relacionados