Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
e
em torno da reta
.
Passo 1
A região é dada pelas curvas y = x² (parábola vertical) e x = y² (parábola horizontal), que se intersectam em (0,0) e (1,1). Queremos o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta y = –1, usando o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Para usar cascas cilíndricas com eixo de rotação horizontal, escolhemos fatias horizontais. Primeiro, achamos os limites em y: das interseções y = 0 até y = 1. Para cada y, a região vai de x_esq = y² até x_dir = √y.
Passo 3
Numa casca a uma altura y, a altura da casca é x_dir – x_esq = √y – y² e o raio (distância até y = –1) é r = y – (–1) = y + 1. A espessura é dy e o elemento de volume é dV = 2π·(raio)·(altura)·dy = 2π(y+1)(√y – y²)dy.
Passo 4
Montamos o integral e calculamos:
Integrando termo a termo:
Somando:
então
então