Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas y=x^2 e x=y^2 em torno da reta y=-1.

Passo 1

A região é dada pelas curvas y = x² (parábola vertical) e x = y² (parábola horizontal), que se intersectam em (0,0) e (1,1). Queremos o volume do sólido obtido ao girar essa região em torno da reta y = –1, usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Para usar cascas cilíndricas com eixo de rotação horizontal, escolhemos fatias horizontais. Primeiro, achamos os limites em y: das interseções y = 0 até y = 1. Para cada y, a região vai de x_esq = y² até x_dir = √y.

Passo 3

Numa casca a uma altura y, a altura da casca é x_dir – x_esq = √y – y² e o raio (distância até y = –1) é r = y – (–1) = y + 1. A espessura é dy e o elemento de volume é dV = 2π·(raio)·(altura)·dy = 2π(y+1)(√y – y²)dy.

Passo 4

Montamos o integral e calculamos:
V = 2π integral0^1 (y+1)(y^1/2 - y^2),dy = 2π integral0^1 (y^3/2 + y^1/2 - y^3 - y^2),dy
Integrando termo a termo: integral0^1 y^3/2dy=tfrac25,;integral0^1 y^1/2dy=tfrac23,;integral0^1 y^3 dy=tfrac14,;integral0^1 y^2 dy=tfrac13
Somando: tfrac25+tfrac23-tfrac14-tfrac13=tfrac2960,
então V=2πcdottfrac2960=tfrac29π30

Resposta

29pi30

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