Dados os pares de funções abaixo, calcule o Wronskiano em cada caso e determine se cada conjunto de funções é linearmente independente ou linearmente dependente em R :
(a) e^-2 t, t e^-2 t;
(b) sen(2 t), sen t cos t;
© t^2, 4 t-3 t^2;
(d) t^2+5 t, t^2-5 t;
(e) e^3 x, e^3 x-1.
R.: (a) W(t)=e^-4 t; (b) W(t)=0; © W(t)=-4 t^2; (d) W(t)=10 t^2; (e) W(x)=0.

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular o Wronskiano para cada par de funções e decidir se são linearmente independentes ou linearly dependentes em R. O conteúdo envolve o conceito de Wronskiano e o critério de independência linear de funções.

Passo 2

Para duas funções f1 e f2, o Wronskiano é definido como
W(f1,f2)(t)=f1(t)&f2(t)f1'(t)&f2'(t)
Se W não for identicamente zero em um intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo; se Wequiv0, são linearmente dependentes.

Passo 3

No caso (a), f1(t)=e^-2t e f2(t)=t e^-2t. Calculando as derivadas, temos f1'(t)=-2e^-2t e f2'(t)=e^-2t-2t e^-2t=e^-2t(1-2t). O Wronskiano é
W(t)&=e^-2t&t e^-2t-2e^-2t&e^-2t(1-2t) &=e^-2tcdot e^-2t(1-2t)-t e^-2tcdot(-2e^-2t) &=e^-4t(1-2t)+2t e^-4t &=e^-4t
Como e^-4tneq0 para todo t, as funções são linearmente independentes em R.

Passo 4

No caso (b), f1(t)=sin(2t) e f2(t)=sin tcos t. Observamos que sin tcos t=tfrac12sin(2t), logo f2(t)=tfrac12f1(t). Calculando as derivadas, f1'(t)=2cos(2t) e f2'(t)=cos(2t). O Wronskiano é
W(t)&=sin(2t)&sin tcos t2cos(2t)&cos(2t) &=sin(2t)cos(2t)-sin tcos tcdot2cos(2t) &=cos(2t)l(sin(2t)-2sin tcos tr) &=cos(2t)l(2sin tcos t-2sin tcos tr) &=0
Como o Wronskiano é identicamente zero, as funções são linearmente dependentes em R.

Passo 5

No caso ©, f1(t)=t^2, f2(t)=4t-3t^2. As derivadas são f1'(t)=2t e f2'(t)=4-6t. O Wronskiano é
W(t)&=t^2&4t-3t^22t&4-6t &=t^2(4-6t)-(4t-3t^2)2t &=4t^2-6t^3-8t^2+6t^3 &=-4t^2
Como -4t^2 não é identicamente zero, as funções são linearmente independentes em R.

Passo 6

No caso (d), f1(t)=t^2+5t, f2(t)=t^2-5t. Então f1'(t)=2t+5 e f2'(t)=2t-5. O Wronskiano é
W(t)&=t^2+5t&t^2-5t2t+5&2t-5 &=(t^2+5t)(2t-5)-(t^2-5t)(2t+5) &=10t^2
Como 10t^2 não é identicamente zero, as funções são linearmente independentes em R.

Passo 7

No caso (e), f1(x)=e^3x, f2(x)=e^3x-1=e^-1e^3x. Vemos que f2(x)=e^-1f1(x), ou seja, são proporcionais. Isso implica que o Wronskiano é zero em toda R e que as funções são linearmente dependentes.

Resposta

(a) W(t)=e^{-4t}, linearmente independentes; (b) W(t)=0, linearmente dependentes; © W(t)=-4t^2, linearmente independentes; (d) W(t)=10t^2, linearmente independentes; (e) W(x)=0, linearmente dependentes.

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