O enunciado nos pede para calcular o Wronskiano para cada par de funções e decidir se são linearmente independentes ou linearly dependentes em . O conteúdo envolve o conceito de Wronskiano e o critério de independência linear de funções.
Passo 2
Para duas funções e , o Wronskiano é definido como
Se W não for identicamente zero em um intervalo, as funções são linearmente independentes nesse intervalo; se Wequiv0, são linearmente dependentes.
Passo 3
No caso (a), f1(t)=e^-2t e f2(t)=t e^-2t. Calculando as derivadas, temos f1'(t)=-2e^-2t e f2'(t)=e^-2t-2t e^-2t=e^-2t(1-2t). O Wronskiano é
Como e^-4tneq0 para todo t, as funções são linearmente independentes em R.
Passo 4
No caso (b), f1(t)=sin(2t) e f2(t)=sin tcos t. Observamos que sin tcos t=tfrac12sin(2t), logo f2(t)=tfrac12f1(t). Calculando as derivadas, f1'(t)=2cos(2t) e f2'(t)=cos(2t). O Wronskiano é
Como 10t^2 não é identicamente zero, as funções são linearmente independentes em R.
Passo 7
No caso (e), f1(x)=e^3x, f2(x)=e^3x-1=e^-1e^3x. Vemos que f2(x)=e^-1f1(x), ou seja, são proporcionais. Isso implica que o Wronskiano é zero em toda R e que as funções são linearmente dependentes.