Calc ule a imagem inversa dos seguintes conjuntos em relação às seguintes funções:
f: R R mid f(x)=(2 x-1)^2-1. Calcule f^-1(-1,0,1,2,3)

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente calcular a imagem inversa (ou pré-imagem) do conjunto fcolon RtoR, f(x)=(2x-1)^2-1 pela função
f(x)=y
Isso cai em conteúdo de “função e imagem inversa”: a gente vai precisar resolver a equação
pra cada do nosso conjunto, usando noções de raiz quadrada e álgebra básica.

Passo 2

O que é imagem inversa? Se a gente quer (2x-1)^2-1 = y , com , tem que achar todos os tais que , pra cada .
Então, fixamos um valor genérico e resolvemos:

Passo 3

Vamos isolar o quadrado:
(2x-1)^2 = y+1
Como é um quadrado, a gente sai com duas possibilidades:
2x-1 = +raizy+1 ou 2x-1 = -raizy+1,
desde que x = 1pmraizy+12 , ou seja . Aí

Passo 4

Agora é só aplicar pra cada x = 1pm02 = 12 :
  1. Para x = 1pm12 = 0 ou 1 :
    x = 1pmraiz22 , logo
    x = 1pmraiz32
  2. Para x = 1pm22 = 32ou -12 :
    , então
  3. Para :
    , daí
  4. Para :
    , daí
  5. Para :
    , daí

Resposta

f^-1(-1,0,1,2,3) =tfrac12;,0,1;,tfrac1pmraiz22;,tfrac1pmraiz32;,-tfrac12,,tfrac32

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