Uma engenheira recomendou à sua estagiária que utilizasse como comprimento característico um determinado diâmetro D, que fugia de definições de equivalência tradicionais, para definir o tamanho de uma amostra de cristais de sulfato de potássio. A estagiária precisava determinar a massa desses cristais produzidos em um processo de cristalização em solução, em que não seria possível medir a massa (pesar) em tempo real. Para isso, precisava primeiramente saber como D se relaciona à massa de um cristal individual.
Para isso, ela fez uma análise preliminar com 20 cristais, em que determinou o D seguindo as orientações da engenheira. Depois, conseguiu obter o volume de cada um dos 20 cristais através de análise de imagens. A tabela abaixo sumariza os resultados da análise preliminar da estagiária:
D en>=nheira (mu m) Volume (mu m^3)
Cristal 1 100 1384304,73
Cristal 2 20 9313,09
Cristal 3 157 5446892,83
Cristal 4 117 2419855,89
Cristal 5 179 7211539,45
Cristal 6 144 4139076,88
Cristal 7 153 4451465,46
Cristal 8 138 3492794,50
Cristal 9 111 2006277,02
Cristal 10 88 887658,98
Cristal 11 69 422385,16
Cristal 12 25 22601,58
Cristal 13 71 489304,44
Cristal 14 65 347567,06
Cristal 15 123 2655071,54
Cristal 16 178 7268818,51
Cristal 17 103 1453432,09
Cristal 18 190 10098112,14
Cristal 19 95 1204227,38
Cristal 20 119 2078718,47
a) Verifique se é possível determinar um fator de forma em volume alphaV para os cristais analisados. Justifique. Se sim, qual valor?

Passo 1

Beleza, amiga(o)! O enunciado diz que a gente tem 20 cristais de sulfato de potássio, mediu em cada um um “diâmetro característico” V ;=;alphaV,D^3 (em µm) e o volume real (em µm³). A ideia é ver se existe um “fator de forma” em volume tal que
Ou seja, conteúdo de geometria com semelhança e escalonamento de volumes. Para isso vamos precisar:
  1. Entender a relação teórica .
  2. Calcular para cada cristal.
  3. Verificar se fica aproximadamente constante.
  4. Se sim, tomar um valor médio como .

Passo 2

Vamos falar da teoria:
  • Se todos os cristais têm forma geométrica “semelhante” (mesma “forma” só escalonada), o volume escala como o cubo de qualquer dimensão linear: V ;=; K,D^3
  • Aqui o “K” é esse nosso alphai = ViDi^3 . Se os cristais realmente forem todos parecidos, cada razão vai dar aproximadamente o mesmo número.

Passo 3

Mão na massa: para cada cristal alphai = ViDi^3 a gente calcula
D1=100, V1=1,38430473times10^6 Longrightarrow alpha1 = 1,3843times10^6100^3 approx1,384
Por exemplo, pro Cristal 1:
Fazendo isso rapidinho pros 20 cristais (é só colocar numa planilha ou calculadora):
Cristal |
1 → 1,384
2 → 1,164
3 → 1,408
4 → 1,510

20 → 1,233
Você vê que todos ficam entre cerca de 1,16 e 1,51.

Passo 4

Agora, vale olhar a dispersão desses :
  • Variação típica de uns 10 % em torno de ~1,35.
  • Isso é um espalhamento razoável, mas não absurdo pra medidas experimentais de cristais.
  • Como todos giram em torno de um valor único, podemos dizer que existe sim um fator de forma bem definido.

Passo 5

Pra obter o valor final do fator de forma, a gente faz a média simples:
alphaV ;=;120sumi=1^20alphai ;approx;1,35

Resposta

Sim, dá pra definir um fator de forma em volume. Calculando boxedalphaV approx 1,35 nos 20 cristais, os valores se concentram em torno de 1,35. Logo,

Exercícios relacionados