Uma engenheira recomendou à sua estagiária que utilizasse como comprimento característico um determinado diâmetro
, que fugia de definições de equivalência tradicionais, para definir o tamanho de uma amostra de cristais de sulfato de potássio. A estagiária precisava determinar a massa desses cristais produzidos em um processo de cristalização em solução, em que não seria possível medir a massa (pesar) em tempo real. Para isso, precisava primeiramente saber como
se relaciona à massa de um cristal individual.
Para isso, ela fez uma análise preliminar com 20 cristais, em que determinou o
seguindo as orientações da engenheira. Depois, conseguiu obter o volume de cada um dos 20 cristais através de análise de imagens. A tabela abaixo sumariza os resultados da análise preliminar da estagiária:
Para isso, ela fez uma análise preliminar com 20 cristais, em que determinou o
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Volume
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Cristal 1 | 100 | 1384304,73 |
Cristal 2 | 20 | 9313,09 |
Cristal 3 | 157 | 5446892,83 |
Cristal 4 | 117 | 2419855,89 |
Cristal 5 | 179 | 7211539,45 |
Cristal 6 | 144 | 4139076,88 |
Cristal 7 | 153 | 4451465,46 |
Cristal 8 | 138 | 3492794,50 |
Cristal 9 | 111 | 2006277,02 |
Cristal 10 | 88 | 887658,98 |
Cristal 11 | 69 | 422385,16 |
Cristal 12 | 25 | 22601,58 |
Cristal 13 | 71 | 489304,44 |
Cristal 14 | 65 | 347567,06 |
Cristal 15 | 123 | 2655071,54 |
Cristal 16 | 178 | 7268818,51 |
Cristal 17 | 103 | 1453432,09 |
Cristal 18 | 190 | 10098112,14 |
Cristal 19 | 95 | 1204227,38 |
Cristal 20 | 119 | 2078718,47 |
a) Verifique se é possível determinar um fator de forma em volume
para os cristais analisados. Justifique. Se sim, qual valor?
Passo 1
Beleza, amiga(o)! O enunciado diz que a gente tem 20 cristais de sulfato de potássio, mediu em cada um um “diâmetro característico”
(em µm) e o volume real
(em µm³). A ideia é ver se existe um “fator de forma” em volume
tal que
Ou seja, conteúdo de geometria com semelhança e escalonamento de volumes. Para isso vamos precisar:
- Entender a relação teórica
. - Calcular
para cada cristal. - Verificar se
fica aproximadamente constante. - Se sim, tomar um valor médio como
.
Passo 2
Vamos falar da teoria:
- Se todos os cristais têm forma geométrica “semelhante” (mesma “forma” só escalonada), o volume escala como o cubo de qualquer dimensão linear:
- Aqui o “K” é esse nosso
. Se os cristais realmente forem todos parecidos, cada razão vai dar aproximadamente o mesmo número.
Passo 3
Mão na massa: para cada cristal
a gente calcula
Por exemplo, pro Cristal 1:
Fazendo isso rapidinho pros 20 cristais (é só colocar numa planilha ou calculadora):
Cristal |
1 → 1,384
2 → 1,164
3 → 1,408
4 → 1,510
…
20 → 1,233
1 → 1,384
2 → 1,164
3 → 1,408
4 → 1,510
…
20 → 1,233
Você vê que todos ficam entre cerca de 1,16 e 1,51.
Passo 4
Agora, vale olhar a dispersão desses
:
- Variação típica de uns 10 % em torno de ~1,35.
- Isso é um espalhamento razoável, mas não absurdo pra medidas experimentais de cristais.
- Como todos giram em torno de um valor único, podemos dizer que existe sim um fator de forma
bem definido.
Passo 5
Pra obter o valor final do fator de forma, a gente faz a média simples:
Resposta
Sim, dá pra definir um fator de forma em volume. Calculando
nos 20 cristais, os valores se concentram em torno de 1,35. Logo,