Calc ule a imagem inversa dos seguintes conjuntos em relação às seguintes funções:
f: R R mid f(x)=2(x-1)+3 Calcule f^-1([1,7)).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte:
Temos a função
f:RtoR, f(x)=2(x-1)+3
e o objetivo é encontrar a imagem inversa de f^-1([1,7))=xinRmid f(x)in[1,7) , ou seja
Conteúdo envolvido: conceito de pré-imagem (imagem inversa) de um conjunto e resolução de inequações lineares. Vamos precisar isolar a partir de uma desigualdade.

Passo 2

Primeiro, recapitula: a imagem inversa f^-1(B)=xmid f(x)in B de um conjunto f(x)in[1,7) é
2(x-1)+3in[1,7)
Então queremos todos os que tornam
Substituindo a expressão de :

Passo 3

Agora vamos simplificar f(x)=2(x-1)+3 = 2x -2 +3 = 2x+1 :
1 <= 2x+1 < 7
Logo a condição vira
1-1 <= 2x+1-1 < 7-1 Longrightarrow 0 <= 2x < 6
Para resolver essa desigualdade composta, fazemos passo a passo:
  1. Subtrai 0/2 <= x < 6/2 Longrightarrow 0 <= x < 3 em toda a desigualdade:
  2. Divide por (como , a desigualdade não inverte):

Resposta

f^-1([1,7)) = [0,3)

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